Теоретико-множественный смысл разности

Разностью целых неотрицательных чисел а и bназывается число элементов в дополнении множества В до множества А при условии, чтоn(A)=a, n(B)=b, B A, т.е. а - b = n(AB). Это обуславливается тем, что А=В (АВ), т.е. n(A)=n(B) + n(AB).

Правило вычитания числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых и к полученному результату прибавить другое слагаемое, т.е. при а с имеем, что (a+b)-c=(a-c)+b; при b c имеем, что (a+b)-c=a+(b-c); при a c и b c можно использовать любую из данных формул.

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С – такие множества, что n(A)=a, n(B)=b и A B= , С А (рис.5).

Нетрудно доказать с помощью кругов Эйлера, что для данных множеств имеет место равенство .

Правая часть равенства имеет вид:

.

Левая часть равенства имеет вид: Следовательно (a + b) – c = (a– c) + b,при условии, что а>c.

Правило вычитания суммы из числа: чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т.е. при условии, что a b +c, имеем а – (b + c) = (a – b) – c.

Выясним смысл данного правила. Для данных множеств имеет место равенство .

Тогда получим, что правая часть равенства имеет вид: . Левая часть равенства имеет вид: .

Следовательно (a + b) – c = (a– c) + b, при условии, что а>c.

Правило вычитания разности из числа: чтобы вычесть из числа а разность b – c, достаточно к данному числу прибавить вычитаемое с и из полученного результата вычесть уменьшаемое b; при a > b можно вычесть из числа а уменьшаемое b и к полученному результату прибавить вычитаемое с, т.е. а – (b – c) = (a + c) – b = (a – b) +c.

Выясним смысл данного правила: Пусть А, В, С - такие множества, что n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c и С В, В А (рис.6). Тогда а – (b – c) есть число элементов множества А(ВС), а число (a + c) – b есть число элементов множества . На рисунке 5 множество А(ВС) изображено штриховкой. Легко убедиться в том, что множество изобразится точно такой же областью.

Значит, А(ВС) = .

Следовательно, n(А(ВС)) = n( ) и а – (b – c) = (a + c) – b.

Правило вычитания числа из разности: чтобы из разности двух чисел вычесть третье число, достаточно из уменьшаемого вычесть сумму двух других чисел, т.е. (а – b) – c = a – (b + c). Доказывается аналогично правилу вычитания суммы из числа.

Пример. Какими способами можно найти разность: а) 15 – (5 + 6); б) (12 + 6) – 2?

Решение. а) Используем правило вычитания суммы из числа: 15 – (5 + 6) = (15 – 5) – 6 = 10 – 6 = 4.

Или 15 – (5 + 6) = (15 – 6) – 5 = 9 – 4 = 4.

Или 15 – (5 + 6) = 15 – 11= 4.

б) Используем правило вычитания числа из суммы: (12 + 6) – 2 = (12 – 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Или (12 + 6) – 2 = 12 + (6 – 2) = 12 + 4 = 16.

Или (12 + 6) – 2 = 18 – 2 = 16.

Данные правила позволяют упростить вычисления и широко используются в начальном курсе математики.

Вопрос

Говорят, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия:

1) любые два подмножества попарно не пересекаются;

2) объединение всех подмножеств совпадает с исходным множеством Х.

Разбиение множества на классы называют классификацией.

Классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множества. Если выбирается только одно свойство, то такую классификацию называют дихотомической. Например, натуральные числа можно разбить на четные и нечетные. Буквы русского языка можно разбить на гласные и не гласные. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство А, то это множество разбивается на два класса: первый класс – объекты, обладающие свойством А, второй класс – объекты, не обладающие свойством А.

Если элементы множества обладают двумя независимыми свойствами, то все множество разбивается на 4 класса. Например, на множестве натуральных чисел заданы два свойства: «быть кратным 2» и «быть кратным 3». При помощи этих свойств в множестве N можно выделить два подмножества А и В. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 6). Тогда в первый класс войдут числа, кратные 2 и 3, во второй – кратные 2, но не кратные 3, в третий – кратные 3, но не кратные 2, в четвертый – не кратные 2 и не кратные 3.

Рис. 6

П р и м е р 1. Пусть Х – множество четырехугольников, А, В и С – его подмножества. Можно ли говорить о разбиении множества Х на классы А, В и С, если:

а) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, противоположные стороны которых не параллельны;

б) А – множество параллелограммов, В – множество трапеций, С – множество четырехугольников, имеющих прямой угол?

Р е ш е н и е. а) Множества А, В и С попарно не пересекаются. Действительно, если у четырехугольника, противоположные стороны не параллельны, то он не может быть параллелограммом или трапецией. В параллелограмме противоположные стороны попарно параллельны, поэтому он не может принадлежать ни множеству В, ни множеству С. Наконец, в трапеции две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны, поэтому трапеция не может принадлежать ни множеству А, ни множеству С. Объединение множеств А, В и С даст все множество четырехугольников. Условия классификации выполнены, множество всех четырехугольников можно разбить на параллелограммы, трапеции и четырехугольники, противоположные стороны которых не параллельны.

б) Множества А и В не пересекаются, но множества А и С имеют общие элементы, примером может служить прямоугольник, множества В и С тоже пересекаются: общим элементом является прямоугольная трапеция. Следовательно, нарушено первое условие классификации. Не выполняется и второе условие, так как некоторые четырехугольники не попадают ни в одно из подмножеств А, В или С, таким является четырехугольник с непараллельными сторонами и непрямыми углами. В этом случае множество Х на классы А, В и С не разбивается.

Вопрос

9. булеан (еще есть в наших тетрадках!Тема называется ТЕОРЕТИКО МНОЖЕСТВЕННЫЕ ОПЕРАЦИИ)

Пусть — множество. Множество всех подмножеств множества называется булеаном и обозначается (пэ от а). Также оно обозначается (два в степени а), так как оно соответствует множеству отображений из в (2 равное точке ноль по оси икс 1 по оси игрик).

Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны.

Элементы множества сами могут быть некоторыми множествами. Например, элементами множества студенческих групп являются студенческие группы, которые, в свою очередь, являются множествами студентов. Большое применение в математике находит множество, элементами которого являются подмножества какого-либо множества. Пусть X - некоторое множество. Множество всех подмножеств множества X называется булеаном X (в честь ирландского математика и логика Дж.Буля (1815-1864)). Булеан обозначается символом B(Х). Итак,. Заметим, что подмножество является элементом B(X). В частности, Ø.

Пример.

Укажем булеан множества ^ X={0, 1, 2}, выписав все его элементы:

B(X)={ Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}. Мы видим, что число элементов булеана в случае, когда множество X имеет 3 элемента, равно 8, т.е. 23. Выпишем все элементы, содержащие 0 и не содержащие 0: {0}, {0,1}, {0,2}, {0,1,2};

{1,2}, {2}, {1}, Ø.

Случайно ли, что их число одинаково? Каждому множеству ^ A, содержащему 0, сопоставляется одно и только одно множество, не содержащее нуля, состоящее из всех таких элементов, входящих в X, которые не входят в A. Поэтому подмножеств, содержащих 0 и не содержащих 0 - одинаковое количество.

Можно доказать, что если множество X состоит из n элементов, то оно содержит 2n подмножеств. Обозначив через m(X) число элементов конечного множества X, можно записать m(D(X))=2m(X).

10 вопрос( Билет № 10(он тоже есть в тетрадке,под той же темой что и 9 билет)

Декартово (прямое) произведение множеств

Пусть X и Y - некоторые множества и xÎХ, yÎY. Располагая элементы х и y в определенном порядке, например, считая x первым элементом, а y вторым, мы получим упорядоченную пару (x,y). Элемент x называют первой координатой упорядоченной пары (x,y), а элемент y - второй координатой. Две упорядоченные пары считаются равными тогда и только тогда, когда равны их первые и вторые координаты, т.е. (x,y)=(u,v) тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Некоторые объекты в математике, имеющие важное теоретическое и прикладное значение, являются упорядоченными парами.

Пример 1. Рассмотрим уравнение x2 –y=1. Его решением является упорядоченная пара (x0,y0) такая, что x02 –y0=1. Упорядоченные пары (1,0), (2,3), (3,8), (-2,3), являются решениями. Пара (3, 2) не является решением, так как 32-2≠1.

Декартовым или прямым произведением множества X на множество Y называется множество всех упорядочение пар (x,y), где xÎХ, yÎY. Обозначается прямое произведение символом Х´Y. Таким образом

Х´Y={(x,y)|xÎХ и yÎY}.

По определению полагают, что X´Ø=Ø, Ø´Y=Ø. Декартово произведение множества X на себя называют декартовым (или прямым) квадратом. При этом полагают X´X=X2. Имеем: X2={(x,y)|xÎХ, yÎX}.

Пример 2. Пусть Х={a,b,c}, Y={1,2}. Зададим множество Х´Y перечислением его элементов. Имеем Х´Y={(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}. Перемножим множества X и Y в обратном порядке:Y´X={(1,a), (2,a), (1,b), (2,b), (1,c), (2,c)}. Замечаем, что X´Y≠Y´X. Следовательно, декартово произведение не обладает свойством коммутативности (переместительности).

Приведем теперь некоторые свойства, связывающие рассмотренные выше операции над множествами с операцией декартова произведения. Дистрибутивность прямого произведения относительно объединения:

(XÈY) ´Z=(X´Z)È(Y´Z); (1)

X´ (YÈZ)=(X´Y)È(X´Z); (2)

дистрибутивность прямого произведения относительно пересечения:

(ХÇY) ´Z=(X´Z)Ç(Y´Z); (3)

X´ (YÇZ)=(X´Y)Ç(X´Z); (4)

дистрибутивность прямого произведения относительно вычитания:

(X\Y) ´Z=(X´Z)\(Y´Z); (5)

X\(Y\Z)=(X´Y)\(X´Z). (6)

Вопрос

Вопрос

12 Свойства бинарных отношений.

Бинарным отношением между двумя множествами называется соответствие элементов одного из них элементам второго.

Отношение - это одна из форм всеобщей взаимосвязи всех предметов, явлений, процессов в природе, обществе и
мышлении. Спектр отношений на множествах многоаспектен, начиная с определения понятия множества, аксиоматики
и заканчивая разбором парадоксов. Различных отношений на множестве бесконечно. Но, когда говорят об бинарных
отношениях, то подразумевают отношения между двумя величинами, объектами, высказываниями.

Обычно отношения обозначают латинской буквой R.

Если хRх для любого х из поля отношения R то такое отношение называют рефлексивным, где х и х - объекты
мысли, а R - это знак о том или ином виде отношения между объектами мысли.

Если хRу ® уRх, то такое отношение называется симметричным, где ® - знак импликации, сходный с союзом "! если..., то..."

Если (xRy Ù y R z) ® xRz, то такое отношение называется транзитивным, где Ù - знак конъюнкции.

Бинарное отношение, которое одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно называется отношением эквивалентности.

Бинарное отношение f называют функцией, если из < х, у > Î f и < х, z > Î f следует y = z. Бинарная функция применима к двум аргументам, взятым в определённом порядке, и только в этом случае она даёт значение функции для этих двух аргументов, взятых в данном порядке.

Бинарные функции называются тождественными, если они имеют одну и ту же область определения и если для каждой упорядоченной пары аргументов. лежащих в этой области, они имеют одно и тоже значение.

Бинарная функция называется симметричной, если она совпадает со своей конверсией, то есть когда меняются местами предыдущий и последующий члены высказывания..

Принято говорить, что f отображает Х на У если f есть функция, с областью определения Х и областью значений У.

Когда же f отображает Х на У и У Í Z то говорят. что f отображает Х в Z. Например, если f(x) = 2x для любого целого х, то можно сказать что f отображает множество всех целых чисел в множество всех целых чётных чисел.

Как отмечалось выше, бинарное отношение, которое одновременно рефлексивно, симметрично и транзитивно называется отношением эквивалентности.

Таким образом, отношение эквивалентности бинарных отношений характеризуется следующими СВОЙСТВАМИ:

1) рефлексивностью: (M ~ N);

2)симметричностью: если M ~ N, то N ~ M;

3) транзитивностью: если M ~ N и N ~ P то M ~ P.

Рассмотрим эти свойства подробнее.

Рефлексивность - это одно из свойств некоторых отношений, когда каждый элемент множества находится в данном отношении к самому себе. Например отношения между числами а = с и а ³ с рефлексивны, так как всегда а = а, с = с, а ³ а, с ³ с. Но отношение неравенства а > с антирефлексивно, так как неравенство а > а невозможно.

Аксиома рефлексивности записывается так: aRc ® aRa Ù cRc, здесь ® означает слово "влечёт" ("имплицирует"), а знак Ù - союз "и" (конъюнкция).

Из этой аксиомы следует: если суждение aRc истинно. то истинны и суждения aRa и cRc.

Симметричное отношение - это такое отношение между объектами, когда наличие этого отношения влечё за собой наличие этого отношения и в том случае, если объекты поменять местами; иначе говоря при счимметричном отношении перестановка объектов не ведёт к изменению вида отношения. Например, отношение равенства а = с

симметрично, так как оно эквивалентно (равносильно) отношению с = а, си мметрично и отношение а ¹ с, так как оно эквивалентно отношению с ¹ а.

Транзитивное множество - это такое множество, например множдество х, если выполняется следующее требование: у Î х, z Î y ® z Î x где ® это знак, представляющий слова: " если..., то..." Читается формула так: Если у принадлежит х, z принадлежит у, то z принадлежит х ".

Вопрос

Отношение эквивалентности (~) на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:
Рефлексивность: a ~ a для любого a в X,
Симметричность: если a ~ b, то b ~ a,
Транзитивность: если a ~ b и b ~ c, то a ~ c.

Классом эквивалентности C(a) элемента a называется подмножество элементов, эквивалентных a. Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если b \in C(a), то C(a) = C(b).
Множество всех классов эквивалентности обозначается X/~

Вопрос

Есть в учебнике стр 318-320.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: