Теоретический материал. Геометрия– это наука о свойствах геометрических фигур

1.Точка.
2.Прямая.
3.Параллелограмм (частные случаи: квадрат, прямоугольник, ромб).
4.Трапеция.
5.Окружность.
6.Треугольник.
7.Многоугольник.

1)Точка.
В геометрии, топологии и близких разделах математики точкой называют абстрактный объект в пространстве, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других аналогичных характеристик больших размерностей. Таким образом, точкой называют нульмерный объект. Точка является одним из фундаментальных понятий в математике.

Точка в Евклидовой геометрий.

Точка — это одно из фундаментальных понятий геометрии, поэтому "точка" не имеет определения. Евклид определил точку как то, что нельзя разделить.
Также в геометрии нет определения "прямой" (имеется в виду прямая линия).

2)Прямая.
Прямая — одно из основных понятий геометрии.
Геометрическая прямая (прямая линия) — незамкнутый с двух сторон, протяженный не искривляющийся геометрический объект, поперечное сечение которого стремится к нулю, а продольная проекция на плоскость даёт точку.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

3)Параллелограмм.
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Частные случаи:

Квадрат — правильный четырёхугольник или ромб, у которого все углы прямые, или параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.
Квадрат может быть определён как:

• прямоугольник, у которого две смежные стороны равны
• ромб, у которого все углы прямые (любой квадрат является ромбом, но не любой ромб является квадратом).

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Примечание. В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° - прямоугольников не существует.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

4)Трапеция.
Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется), в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Прямоугольная трапеция

Равнобокая трапеция

5)Окружность.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

6)Треугольник.
Треугольник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.
Если все три точки треугольника лежат на одной прямой, он называется вырожденным.

7)Многоугольник.
Многоугольник — это геометрическая фигура, определяется как замкнутая ломаная. Существуют три различных варианта определения:

• плоские замкнутые ломаные;
• плоские замкнутые ломаные без самопересечений;
• части плоскости, ограниченные ломаными.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.

Исторический факт: Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т. д.).

Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.
С VII века до н. э. по I век н. э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида «Начала».

В этой книге впервые была сделана попытка дать систематическое построение планиметрии на базе основных неопределяемых геометрических понятий и аксиом (постулатов).

Решение примеров и задач (алгоритм выполнения задания):

(Решение задач на построение геометрических фигур).

Задача 1: Построите АВС треугольник с помощью одной стороны и двумя прилегающими к нему углами: АВ=4см; <А=40⁰ и <В=65⁰.

Решение: Для начала необходимо на горизонтальной линий отложить отрезок АВ=4см (с помощью линейки); потом в точке А отмерить (с помощью транспортира) и потом построит угол А=40⁰; далее аналогично в точке В – угол В=65⁰ таким образом, чтобы лучи пересекались в точку С. Полученная фигура и будет треугольник АВС.

С

А 4см В

Задача 2: Построите АВС треугольник с помощью двух сторон и углом между ними: АВ=5см; АС=4см; <А=50⁰.

Решение: Для начала необходимо на горизонтальной линий отложить отрезок АВ=5см (с помощью линейки); потом в точке А отмерить (с помощью транспортира) и потом построит угол А=50⁰; на луче от точки А отмерить отрезок АС=4см и соединить точки С и В. Полученная фигура и будет треугольник АВС.

С

А 5см В

Задача 3: Построите АВСD квадрат со стороной АВ=3см.

Решение: Для начала необходимо на горизонтальной линий отложить отрезок АВ=3см (с помощью линейки); потом в точке А отмерить (с помощью транспортира) и потом построит угол А=90⁰; на луче от точки А отмерить отрезок АD=3см; аналогично, в точке В отмерить (с помощью транспортира) и потом построит угол В=90⁰; на луче от точки В отмерить отрезок ВС=3см и соединить точки С и D. Полученная фигура и будет квадрат АВСD.

DC

3см

A 3 см B

Задача 4: Построите АВСD прямоугольник со сторонами АВ=4см и AD=3см.

Решение: Для начала необходимо на горизонтальной линий отложить отрезок АВ=4см (с помощью линейки); потом в точке А отмерить (с помощью транспортира) и потом построит угол А=90⁰; на луче от точки А отмерить отрезок АD=3см; аналогично, в точке В отмерить (с помощью транспортира) и потом построит угол В=90⁰; на луче от точки В отмерить отрезок ВС=3см и соединить точки С и D. Полученная фигура и будет прямоугольник АВСD.

D C

3см

A 4см B

Решите примеры (самостоятельно):

Задача 1: Построите АВС треугольник с помощью одной стороны и двумя прилегающими к нему углами: АВ=5см; <А=50⁰ и <В=75⁰.

Задача 2: Построите АВС треугольник с помощью двух сторон и углом между ними: АВ=6см; АС=5см; <А=55⁰.

Задача 3: Построите АВСD квадрат со стороной АВ=4см.

Задача 4: Построите АВСD прямоугольник со сторонами АВ=6см и AD=4см.

Задача 5: Построите АВСDпараллелограмм с помощью двух сторон и углом между ними: АВ=5см; АС=4см; <А=40⁰.

Задача 5: Построите АВСDромб с помощью стороны и углом: АВ=5см; <А=50⁰.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что изучает геометрия?

2. Как повязаны геометрия и планиметрия?

3. Что такое фигура?

4. Основные фигуры в планиметрии?

5. Рассказать вкратце про каждую из фигур.

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Башмаков М.И., математика: учебник для нач. и сред. Проф. образования, -М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2010.- 256 с.

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2005.

3. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.

4. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.

5. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

Дополнительные источники:

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

3. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10 кл. – М., 2005.

4. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 11 кл. – М., 2005.

5. Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). 10—11 кл. – М., 2005.

6. Башмаков М.И. Математика: 10 кл. Сборник задач: учеб. пособие. – М., 2004.

7. Башмаков М.И. Математика: учебник для 10 кл. – М., 2004.

8. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М., 2000.

9. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1). – М., 2003.

10. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 2). – М., 2003.

11. Луканкин Г.Л., Луканкин А.Г. Математика. Ч. 1: учебное пособие для учреждений начального профессионального образования. – М., 2004.

12. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М., 2003.

13. Смирнова И.М. Геометрия. 10 (11) кл. – М., 2000.

Интернет ресурсы:

1. Колмогоров А.Н. (ред.) — Алгебра и начала анализа: Электронная книга. Lib.mexmat.ru/books/3307

2. Алгебра и начала анализа. 10-11 класс. Учебник. Мордкович

e-ypok.ru/content/

3. «Математика для колледжей» Математический Портал – библиотека math-portal.ru

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: