Диагональные матрицы

Пример

- квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.

Определение

Матрица называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. .

Пример

Определение

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, - вектор-столбцом.

Пример

- вектор-строка; - вектор-столбец.

Диагональные матрицы

Определение

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

Пример

Определение

Скалярной называется диагональная матрица , у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

Пример

Определение

Единичной матрицей называется скалярная матрица порядка , диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто .

Пример

- единичная матрица второго порядка.

Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

· Ассоциативность сложения:

· Коммутативность сложения:

· Ассоциативность умножения:

· Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

· Дистрибутивность умножения относительно сложения:

· С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

· Свойства операции транспонирования матриц:

, если обратная матрица существует.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: