Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Числовые ряды. Основные определения, свойства. Ряд геометрической прогрессии.




Определение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Числовым рядом называется бесконечная сумма

Числа называются, соответственно, первым, вторым, n –м … членами ряда. называется также общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда как функция его номера n: .

Определение: Сумма n первых членов ряда называется n –й частичной суммой ряда: .

Определение: Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда, а ряд при этом называется сходящимся. Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

В школьном курсе математики рассматриваются такие ряды, как натуральный ряд чисел и бесконечная геометрическая прогрессия: . Известно, что при сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , то есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия является сходящимся числовым рядом.

Простейшие свойства числовых рядов

Простейшие свойства числовых рядов
Теорема 1: Если ряд (1)
   

сходится и имеет сумму S, то ряд

(2)

   

где λ –произвольное число, также сходится и имеет сумму λ · S

Теорема 2: Если ряды (1) (3)

 
 

сходятся и имеют суммы S и соответственно, то ряды (4)

 

называемые суммой и разностью соответственно рядов (1) и (3), также сходятся и имеют суммы соответственно.

Теорема 3: Ряды сходятся или сходятся одновременно (1)

   
(5) Теорема 4: (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд   сходится, то . Следствие: (Достаточный признак расходимости числового ряда.) Если у числового ряда , то ряд расходится.   2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Примеры. Теорема. Если ряд сходится, то un= 0. Доказательство. Пусть ряд u1+u2+…+un сходится, то есть существует конечный предел = S. Тогда имеет место также равенство = S, так как при n и (n-1) . Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем - = = un =0, что и требовалось доказать. Следствие. Если un ≠0, то ряд u1+u2+…+un расходится. Пример. Ряд расходится, так как un = . Подчеркнём, что рассмотренный признак является только необходимым, но не достаточным, то есть из того, что un =0 не следует, что ряд сходится. Позже докажем, что так называемый гармонический ряд (6) расходится, хотя un =   3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения. Признаки сравнения рядов Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:  Если сходится, то также сходится;  Если расходится, то также расходится. Пример Исследовать на сходимость ряд . Рассмотрим расходящийся ряд Он расходится, так как получен из гармонического ряда отбрасыванием u1 =1. Так как ln(n+1)< n+1 при любом n =1,2,…, то поэтому данный ряд расходится по признаку сравнения. Предельные признаки сравнения рядов Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки: · Если , то оба ряда и либо сходятся, либо расходятся; · Если , то ряд сходится, если сходится ряд ; · Если , то ряд расходится, если расходится ряд . Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1.   4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак Даламбера, радикальный признак Коши. Признак Даламбера Пусть − ряд с положительными членами. Тогда справедливы следующие свойства:  Если , то ряд сходится;  Если , то ряд расходится;  Если , то ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае для установления сходимости нужно использовать другие признаки. Пример: Исследовать на сходимость ряд Применим признак Даламбера . следовательно, ряд сходится. Радикальный признак Коши Снова рассмотрим ряд с положительными членами. Согласно признаку Коши:  Если , то ряд сходится;  Если , то ряд расходится;  Если , то вопрос о сходимости ряда , также как для признака Даламбера, остается открытым.     5. Достаточный признак сходимости знакоположительных рядов: интегральный признак Коши. Обобщённый гармонический ряд. Пусть имеем знакоположительный ряд , члены которого стремятся к нулю, монотонно убывая, т. е. , an > an +1. Пусть далее, на промежутке , функция f (x) удовлетворяет следующим условиям: 1) 2) f (x) непрерывна, 3) f (x) монотонно убывает, Тогда: · если несобственный интеграл сходится, то и ряд сходится; · если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится. Гармонический ряд - числовой ряд Каждый член такого ряда, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних - этим объясняется название. Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится, что было доказано Н. Оремом (ок. 1350), П. Менголи (1650), братьями И. и Я. Бернулли в конце 17 в. и Г. Лейбницем (1673): Л. Эйлером (1740) было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда: sn = ln(n) + C + εn, где C = 0,5772156649... - постоянная Эйлера, а εn → 0 при n → ∞. Обобщённый гармонический ряд сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1.   6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами. Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными числовыми рядами, так как они получаются умножением знакоположительных числовых рядов на (–1). Изучение знакопеременных рядов начнем с частного случая–знакочередующихся рядов. Определение: Числовой ряд вида , где – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом. Теорема: (признак Лейбница) Если для знакочередующегося числового ряда
(1)

выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю …>

, то ряд (1) сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство: Рассмотрим частичную сумму четного числа членов ряда

По условию U 1> U 2>…> U 2 n –1> U 2 n , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S 2 n возрастает с возрастанием n и S 2 n > 0 при любом n.

С другой стороны

S 2 n =U1–[(U2–U3)+(U4–U5)+…+(U2 n –2–U2 n –1)+U2 n ]

Выражение в квадратных скобках положительно и S 2 n >0, поэтому,

S 2 n < U 1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S 2 n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный . При этом 0< S £ U 1, так как S 2 n < U 1.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечетного числа членов ряда

S 2 n +1= S 2 n + U 2 n +1.

Перейдём в последнем равенстве к пределу при n ®¥:

Таким образом, частичные суммы как четного, так и нечетного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример: Исследовать на сходимость ряд.

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных