Нормальное распределение.

Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

где — среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание.

Если а=0 и σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна

а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)

Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ вычисляется по формуле:

с использованием интеграла вероятности

Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:

,где δ — величина отклонения.

Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем

P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973

Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно,примерно, 0,3%.

29. Показательное распределение. Функция надёжности.

Показательным (экспоненциальным) называют распре­деление верояйюстей, которое описывается дифферен­циальной функцией



где ?— положительная постоянная величина.

Мы видим, что показательное распределение опреде­ляется одним параметром?. Эта особенность показа­тельного распределения указывает на его преимущество, по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров. Обычно параметры неизвестны и при­ходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два, или три и т. д.

Примером непрерывной случайной величины, распре­деленной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Найдем интегральную функцию показательного рас­пределения.



Мы определили показательное распределение при по­мощи дифференциальной функции; ясно, что его можно оп­ределить, пользуясь интегральной функцией.

Графики дифференциальной и интегральной функций изображены на рис. 12.

Функцией надежности R(f) называют функцию, опре­деляющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t: R(t)=P(T>t)

Часто длительность времени безотказной работы эле­мента имеет показательное распределение, интегральная функция которого

F(t)=1-e^-?t

Следовательно, в силу соотношения R(t)=P(T>t)=1-F(t) предыдущего пара­графа, функция надежности, в случае показательного

распределения времени безотказной работы элемента, имеет вид


П
оказательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

(*)

где?, — интенсивность отказов.

Как следует из определения функции надежности (§ 4), эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени, длительностью t, если время безотказной работы имеет показательное распределение.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: