N-мерное векторное пространство. Аксиомы n-мерного векторного пространства. Скалярное произведение n-векторов, длина n-вектора. Примеры

N-мерным вектором наз-ся упорядоч-ая совокупность n-действительных чисел, записанных в виде `x=(x1,x2,xi,xn), где Xi-компонента `X. 2 N-мерных вектора равны тогда, когда равны их соответствующие компоненты: `x =y, если xi=yi "i. Множ-во векторов с действительными компонентами, в котором определ операции слож-я векторов и умнож-я вектора на число, удовлетв-ее всем св-вам суммы(коммутативное, ассоциативные), наз-ся векторным простр-ом. Размерность вект-го простр-ва равна кол-ву векторов в базисе этого простр-ва. Совок-сть n-мерных векторов, рассм-ая с определ-ми в ней операциями слож-я векторов и умнож-я вектора на число, наз-ся n-мерным координатным простр-ом. Система n—мерных лин. Незав-ых векторов наз-ся базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если кажд вектор этого простр-ва R разлаг-ся по векторам этой системы.

Вопрос №16

Линейная зависимость n-векторов. Критерий линейной зависимости системы n-векторов. Ранг. Базис Система n—мерных лин. Незав-ых векторов наз-ся базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если кажд вектор этого простр-ва R разлаг-ся по векторам этой системы. Базисом наз-ся совокупность всех лин. Незав-х векторов системы простр-ва.Система векторов наз-ся лин-но зависимой, если сущ-ют такие числа α_1, α₂ .. α_m, из которых хотя бы 1 не =0, что Если среди векторов системы есть нул вектор, то система лин-но зависима. Если r векторов системы лин-но зависимы, то все m векторов лин-но зависимы.Для того, чтобы система была лин-но завис-й, необх-мо и достат-но, чтобы хотя бы 1из векторов лин-но выражался через остальные .Рангом системы векторов наз-ся число векторов в любом базисе системы, т.е.и ранг есть макс-ое число лин-но незав-х векторов системы. Следствие: Система, сост-ая более чем из n n-мерных векторов, лин-но зависима.Набор любых n лин-но независ векторов n-мерного векторного простр-ва наз-ся базисом этого простр-ва.

Вопрос №17

Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Лине́йный опера́тор — обобщение лин числ функции (точнее, функции ) на случай более общего множ-ва аргументов и значений. Пусть А – лин-ый оператор из . Число наз-ся собственным значением оператора А, если сущ-ет ненул вектор такой, что А . При этом вектор наз-ся собственным вектором оператора А, отвечающим собств-ому значению . Множ-во всех собств-ых значений лин-го оператора А наз-ся его спектром. Для того чтобы число l было собств-ым значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического ур-ия (7.7) оператора А. Для тождественного оператора все ненул векторы простр-ва являются собственными (с собств-ым значением, равным 1). Для нул оператора все ненул векторы простр-ва являются собств-ыми (с собств-ым значением, равным 0). Наиболее простой вид принимает матрица лин оператора, имеющего n лин-но независимых векторов.

Вопрос №18
Свойства собственных значений и собственных векторов.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:1) характеристический многочлен оператора, действующего в Rn является многочленом n -й степени относительно и не зависит от выбора базиса2) линейный оператор, действующий в Rn имеет не более n различных собственных значений;3) собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Вопрос №20
.Ортогональные матрицы. Диагонализация симметрической матрицы..

Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на AT равен единичной матрице: Для действительных симметричных матриц собственные векторы действительны и ортонормальны, таким образом, трансформирующая матрица является ортогональной. При этом преобразование подобия является ортогональным преобразованием: A -> ZTAZ. Хотя действительные несимметричные матрицы и могут быть диагонализированы "почти во всех" случаях, трансформирующая матрица не обязательно будет действительной. Однако выходит так, что "почти" всю работу в этом случае делает также действительное преобразование подобия. Оно может привести матрицу к системе малых блоков (2 x 2), расположенных по диагонали; все остальные элементы будут нулевыми. Каждый из блоков размера (2 x 2) соответствует комплексно - сопряженной паре собственных чисел.

Вопрос №19
Подобные матрицы; их свойства. Задача диагонализации матрицы. Необходимое и достаточное условия приводимости матрицы к диагональному виду. Квадр матр-ы и n-го порядка наз-ся подобными, если сущ-ет такая невырожд матр , что Преобр-ие матр по формуле наз-ся преобр-ие подобия, а матрица — преобраз-ей. Св-ва подобн матриц 1. Каждая кв матр подобна самой себе: . 2. Если матр подобна матр , то и подобна при . 3. Если матр подобна матр , а подобна , то подобна ,. 4. Подобие явл-ся частным случ эквивалентных преобр-ий.5. В случае ортогональности преобраз-ей матр подобн матр явл-ся конгруэнтными. Если в сущ-ет базис из собств-х векторов лин опер-ра то матр лин опер-ра будет диагон-ой в этом базисе Условия сущ-ия. Пусть – собств-ые значя лин опер-ра кратностей , причём . Если для кажд сущ-ет собств-ых векторов – решений ФСР соотв-ей однородной СЛАУ, то сущ-ет базис из собств-ых векторов, а значит, матр лин опер-ра можно привести к диагон-му виду. В частности, если , т. е. спектр лин опер-ра простой, то базис из собств-х векторов сущ-ет.Но, если среди корней характеристического ур-я найдётся хотя бы 1 пара комплексно-сопряжённых, то в веществ-ом лин простр-ве не сущ-ет базиса из собств-ых векторов.Если спектр простой, то матр лин опер-ра в базисе из собств-х векторов будет диагональной.Рассм кв матр , в столбцах которой стоят координаты собств-х векторов , соотв-их собств-м знач-ям . Это ознч-т, что матр явл-ся матр перехода к базису из собств-х векторов. в этом случае , т. е. матрица – невырожд-я, и для неё сущ-ет обратная – Из опр-я собств-х векторов лин опер-ра следует Где – векторы-столбцы, соотв-щие собств-ым векторам лин опер-ра . Где – диагональная матр, у которой на главн диагонали собств-ые числа т. е. Умножим 2 части рав-ва слева на матрицу : или Это означ, что матр лин опер-ра при переходе к базису из собств-х векторов станет диагональной в результате преобр-ия подобия

Вопрос 21

прямая в R², ур-е прямой(векторное, общее, ур-е прямой, проход-ей через данн точку перепенд-ой данному вектору)

Ур-ем линии на плоскости Оху наз-ся рав-во, содержащее перемен х и у,вида F() ух =,0, которому удовл-ют все точки данной линии и только они. Для вывода ур-я линии исп-ся формулы: а) расст-е межд 2 тчк М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) б) деление отрезка в данн отношении: если М(х,у) делит отрез от М₁(х₁,у₁) до М₂(х₂,у₂) в отн-ии ,то коорд-ты М опр-ся по форм-м , если М- середина, то и Общее уравнение прямой. Прямая L на плоскости опр-ся однозначно, если известны М₀=(х₀,у₀), через кот-ую она проходит и ненул-ой вектор , перпенд-но L. М точка на L, радиус-векторы тчк М и М₀ соотв-но, Радиус-вектор: нач-ся в 0 и зак-ся в М. ур-е прямой в векторной форме,в коорд-ной форме или , где Теорема:Всяк ур-е 1ой степени относ-но х и у определ на плоск-сти некот-ую прямую и наоборот. определ-ся точно до постоянн множ-ля.Частн случаи:1) прямая через начало коорд-т, параллельна ОХ, парал-на ОУ, совпад с ОУ, совпад с ОХ.

Вопрос №22

Ур-е прямой с угл коэфф. Ур-е прямой, прох-ей через данн точку в заданн пнапр-ии, ур-е прямлй через 2 данн тчки,. Угл клэфф прямой.

Угол наклона- угол, отсчит-й, от положит напр-я оси до прямой, против движения час стрелки. Если прам-я паралл-на ОХ, угол =0,т.е , Угл коэфф прямой - число,равн тангенсу угла наклона ,1) 2)параллельная оси коорд-т не имеет угл коэфф-та, т.к. 3)всяк прямая, не паррал-ая ОУ имеет единств-ый k.4)каждому k соотв-ет единств-ое знач-ие угла наклона L, если точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂) принадл-т L, и ,то .Если есть тчка принадл-ая L и угл коэфф, то (ур-е прямой с угл коэфф-ом) b-нач коорд., показ-ет величину напр-я отрезка, отсек-ого L на оси коодр-т, при общее ур-е прямой преобраз-ся в k=-A/B, b=-C/B. Частн случаи:1) через начало коодр-т, 2) паралл ОХ, 3) совпад с ОХ.Если есть точка принадл-ая L и угл коэфф-т, то ур-е (ур-е прямой через данную точку в заданном напр-ии), если k «пробегает» все знач-я, , то ур-е опис-ет множество прямых с центром в М₀. Если есть 2 точки, то ур-е ,вектор -направляющий,по и тчке (х₀,у₀)

Вопрос №23

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: