Асимптоты графика (горизонтальные, вертикальные, наклонные)

Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, к которой график функции как угодно приближается, но не пересекает ее. 1. Если lim x→x₀ f(x)=∞, x=x₀ –вертикальная асимпт (lim x→x₀ -0 f(x)=∞ или lim x→x₀ +0 f(x)=∞) 2. Если lim x→∞ f(x)=b, то y=b- горизонтальная асимптота 3. Если y=kx+b-наклонная асимптота, то k=lim x→∞ f(x)/x, в lim x→∞ (f(x) – kx)

Вопрос№52

Общая схема исследования и построения графика функции

1. D(y), E(y);

2. Свойства (четность/нечетность, периодичность);

3. Асимптоты

4. Нули функции

5. Производная, экстремум

6. y”, ∩/U, точки перегиба

7. Пару контрольных точек

8. График

Вопрос№53

Дифференциал функции, его геометрический смысл. Свойства дифференциала.

Дифференциал функции y=f(x)-величина dy=f’(x)∆x dy=f(x)dx → f’(x)=dy/dx Геометрический смысл дифференциала Выясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведём к графику функции у = f (х) в точке М (х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х + Δх (рис.

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tg α = f ′ (х). Поэтому АВ = f ′ (х)⋅Δх.

Сравнивая полученный результат с формулой получаем dy = АВ, т.е. дифференциал

функции у = f (х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой

точке, когда х получит приращение Δх.

Дифференциал функции приближенно равен приращению функции ∆y и пропорционален приращению аргумента ∆x.

Свойства дифференциала:

1. d (c) = 0; d(c u) = c du;

2. d(u  v) = d u  d v;

3. d(u v) = v d u + u dv;

4. d(u / v) = (v d u - u d v) / v ²

Вопррос54

Инвариантность формы дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциал n-ого порядка.

Инвариантность (неизменность) формы дифференциала. Этим свойством обладает дифференциал функции, но не обладает его производная.

1.Если y=f(x), dy=f’(x) dx

2.Если y=f(u), u=u(x), dy=f’(u)du

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

∆y≈dy=f’(x)∆x; ∆y=f(x+∆x)-f(x)

Заменим приращение разностью функций и получим:f(x₀+ -f(x) f ‘(x₀) или f(x₀₊ ) f(x)+f’(x₀)

Дифференциал n-ого порядка.

Дифференциалом n -го порядка называют дифференциал от дифференциала n-1 -го порядка.

Иначе дифференциал n-го порядка можно записать следующим образом dⁿy=f ⁿ (x)dxⁿ. В том случае, когда y=f(x), x=g(t), получаем dy= (по свойству инвариантности дифференциала).

Тогда d²y=d(dy)=d(f ’ (x)dx)=d(f ’ (x))dx+f’(x)d(dx))=f ” (x)dx²+f ‘ (x)d²x.

Дифференциалы более высоких порядков не обладают свойством инвариантности в отличие от дифференциалов 1-ого порядка

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: