Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система координат. Направляющие косинусы. Деление отрезка в данном отношении

Базисом на плоскости наз. любых два некомпланарных вектора на этой плоскости, взятых в определённом порядке.

Теорема Если на плоскости выбран базис е₁, е₂, то любой вектор ā этой плоскости можно разложить по векторам е₁, е_{2 и} такое разложение единственное: ā = х * е₁ + у * е_2.

Базисом в пространстве наз. любые три некомпланарных вектора в этом пространстве, взятые в определённом порядке.

Теорема Если в пространстве выбран базис е₁,е₂,е_3, то любой вектор ā этой плоскости (пространства) можно разложить по векторам е₁, е₂, е₃ и такое разложение единственное:: ā = х * е₁ + у * е₂ + z * e_3.

Свойства:

1)При умножении вектора ā (x, y, z) на число λ є R, все его координаты умножаются на это число: λ* ā = (λх, λу, λz)

2)При сложении(вычитании) векторов ā = (x, y, z) и в = (х₂, у₂, z₂) складываются (вычитаются) их соответствующие координаты:

ā+-в = (х1+-х2, у1+-у2, z1+-z2)

Декартовой системой координат в пространстве наз. совокупность фиксированной точки О и базиса

Точка О наз. началом координат, а прямые, проходящие через начало координат наз.

Прямая Ох наз. осью абсцисс, прямая Оу – осью ординат, прямая Оz – осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, наз. координатными плоскостями. Вектор ОМ для произвольной точки М, наз. её радиус вектором.

Координаты радиуса вектора точки М по отношению к началу координат наз. координатой точки М в рассматриваемой системе координат.

Базис наз. ортонормированным, если базисные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них = 1. На плоскости ортонормированный базис принято обозначать: i=(1,0), j=(0,1), в пространстве i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1).

Декартовая система координат с ортонормированным базисом наз. прямоугольной системой координат.