Симплексный метод решения задач

Общая идея симплекс-метода

Метод называют симплексным, т.к. области допустимых решений задач, которые рассматривались на начальном этапе развития метода, имели простейший (simple) вид. Этот метод в его непосредственной форме предназначен для решения канонической задачи линейного программирования.

Идея симплекс-метода основана на принципе последовательного улучшения решения, т.е. каждое следующее решение должно быть лучше (не хуже) в смысле улучшения целевой функции. (Увеличение, если задача линейного программирования на , уменьшение, если задача линейного программирования на ). Так как число опорных решений - конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение. (Опорным решением называется базисное неотрицательное решение).

Рассмотрим алгоритм составления симплексных таблиц на примере задачи линейного программирования на максимум.

Математическая модель задачи линейного программирования на :

при .

1.Запишем систему ограничений в форме уравнений, введя дополнительные переменные

Примечание. Уравнение , полученное переносом всех переменных в левую часть целевой функции, называют оценочным уравнением.

2.Заполним первую симплексную таблицу:

- в первом столбце записываем базисные переменные;

- во втором столбце – свободные члены;

- в третьем и последующих столбцах – коэффициенты при переменных

- в предпоследнем столбце – оценочные отношения.

Таблица 1.

Базисные переменные		Коэффициенты	Оценочные отношения
		…				…
				…			-	…
				…				…
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
				…				…
				…				…

Последняя строка таблицы называется оценочной. Запомните: в последней строке указаны коэффициенты целевой функции с противоположным знаком.

3.Назовём первоначальное ДБР (допустимое базисное решение):

, где - свободные переменные равны , а базисные переменные равны свободным членам.

4.Проверка на оптимальность.

Если в оценочной стороне все числа, начиная с третьего столбца, положительные, то решение - оптимальное.

Если в оценочной строке имеется хотя бы одно отрицательное число, то решение - не оптимальное.