Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ВЫСКАЗЫВАНИЙ




Глава I

 

§ 1. Высказывания и формы высказываний

 

Высказыванием называют предложение, выражающее суждение. Если суждение, составляющее содержание (смысл) некоторого высказывания, истинно, то о данном высказывании говорят, что оно истинно. Сходным образом ложным называют такое высказывание, которое является выражением ложного суждения. Например, предложения Ленинград — большой город; Все деревья — растения и Если 2<3, то 2+1<3+1 являются истинными высказываниями, а предложения Париж — столица Англии; Некоторые киты — рыбы и Если 7 простое число, то 7 четное число являются ложными высказываниями. Будем считать, что: а) всякое высказывание истинно или ложно и б) ни одно высказывание не является сразу истинным и ложным.

Истинность и ложность называют логическими, или истинностными, значениями высказываний. Если высказывание истинно, то говорят, что оно имеет логическое значение истина, а если высказывание ложно, то говорят, что оно имеет логическое значение ложь.

Слова: не; неверно, что; и; или; если... то; тогда и только тогда, когда: либо... либо; несовместно; ни... ни; не... но; но, не и их ближайшие синонимы называют логическими союзами (связками), слова для всех... имеет место, что; для некоторых... имеет место, что и их ближайшие синонимы называют кванторами. Логические союзы и кванторы называют логическими постоянными. Они служат для выражения мыслей как в повседневных рассуждениях, так и в научных доказательствах. Логика занимается установлением точного смысла этих слов и общих законов их употребления.

Высказывания, не содержащие логических постоянных, называют элементарными высказываниями. Ими являются, например, следующие предложения: (а) Аристотель — воспитатель Александра Македонского»; (б) Аристотель старше Александра Македонского»; (в) 5<7 и (г) 5—четное число»; элементарные высказывания (а), (б), (в) имеют логическое значение истина, а высказывание (г) — логическое значение ложь.

Высказывания, которые содержат логические постоянные, называют сложными высказываниями. Например, с помощью логического союза если... то из элементарных высказываний (а) и (б) можно образовать сложное высказывание Если Аристотель — воспитатель Александра Македонского, то Аристотель старше Александра Македонского, а из высказываний (в) и (г)— сложное высказывание Если 5 <7, то 5— четное число.

Сложные высказывания тоже истинны или ложны; так, первое из приведенных выше сложных высказываний истинно, а второе — ложно. Логическое значение сложного высказывания зависит от логического значения высказываний, входящих в его состав. Например, когда логическим союзом если... то связывают истинные элементарные высказывания (а) и (б), получают истинное сложное высказывание Если (а), то (б), а когда тем же логическим союзом связывают истинное и ложное элементарные высказывания (в) и (г), получают сложное высказывание Если (в), то (г), которое ложно. Но если те же самые истинные элементарные высказывания (а) и (б) связать логическим союзом либо..., либо [1], то сложное высказывание Либо (а), либо (б) будет ложным. Если же истинное и ложное элементарные высказывания (в) и (г) связать логическим союзом и, а затем перед получившимся сложным высказыванием поставить логический союз неверно, что, то высказывание Неверно, что (в) и (г) будет истинным сложным высказыванием. Таким образом, логическое значение сложного высказывания определяется логическим значением входящих в его состав элементарных высказываний и теми логическими постоянными, с помощью которых оно построено.

Рассмотрим теперь неполные высказывания:... — человек,... есть простое число и т. п. Если в эти неполные высказывания вместо точек подставлять единичные термины (собственные имена, описания отдельных предметов и др.), то будут получаться истинные и ложные высказывания. Так, если в первом из них точки заменить собственным именем Сократ, а во втором — цифрой 5, то неполные высказывания превратятся в истинные элементарные высказывания: Сократ — человек и 5 есть простое число. Если же в первом из них точки заменить собственным именем Жучка, а во втором — цифрой 6, то они превратятся в ложные элементарные высказывания Жучка — человек и 6 есть простое число.

Вместо точек для указания пробелов в неполных высказываниях, при заполнении которых они превращаются в высказывания, мы будем употреблять буквы х, у, z,..., которые называют предметными переменными, и писать: х — человек, у есть простое число и т. д. Неполные высказывания, которые содержат предметные переменные, называют формами высказываний.

Формы высказываний x — человек, у есть простое число выражают не суждения, а условия, которым одни объекты удовлетворяют, а другие — нет. С помощью каждой из таких форм можно определить класс предметов, для которых выполняется выражающееся в них условие. Если термин, обозначающий предмет, при подстановке вместо предметной переменной дает истинное высказывание, то предмет принадлежит данному классу, если же при такой подстановке получают ложное высказывание, то — не принадлежит. Например, с помощью формы высказывания х — человек, из множества всех живых существ можно выделить класс таких, которые обладают свойством быть человеком, а с помощью формы высказывания у есть простое число из множества целых положительных чисел можно выделить класс чисел, обладающих свойством быть простым числом.

Существуют формы высказываний с двумя предметными переменными (с двумя пробелами), например: х старше у (...старше___); х > у (...>___) и т. п. Если вместо всех предметных переменных (мест, отмеченных точками и черточками) подставить единичные термины, то получим истинные или ложные высказывания. Если в первом примере вместо х и у подставить собственные имена Маяковский и Есенин, а во втором примере — цифры 3 и 2, то получим истинные высказывания Маяковский старше Есенина и 3>2. Если же в этих примерах вместо х и у подставить соответственно Есенин и Маяковский, 2 и 3, то получим ложные высказывания Есенин старше Маяковского и 2>3.

Формы высказываний с двумя предметными переменными выражают условия, которым одни упорядоченные пары объектов удовлетворяют, а другие — не удовлетворяют. С помощью каждой из них можно определить класс упорядоченных пар объектов, связанных соответствующим отношением. Например, с помощью формы высказывания х старше у из множества всех людей можно выделить класс упорядоченных пар, которые связаны отношением старше, а с помощью формы высказывания х > у из множества рациональных чисел выделить класс упорядоченных пар, находящихся в отношении >. Существуют формы высказываний с тремя, четырьмя и большим числом предметных переменных. Например, по три предметных переменных содержат формы высказываний х находится между у и z, z есть сумма чисел х и у и т. п. Из первой формы истинное высказывание получается при подстановке вместо х, у и z соответственно собственных имен Бологое, Ленинград, Москва, а из второй формы при подстановке цифр 2, 3, 5. Формы высказываний с тремя и большим числом предметных переменных выражают условия, которым удовлетворяют одни тройки, четверки и т. д. предметов и не удовлетворяют другие, они определяют классы упорядоченных троек, четверок и т. д. предметов.

Если в форме высказывания, содержащей несколько предметных переменных, осуществить подстановку только для одной из них, то получится форма высказывания с меньшим числом предметных переменных. Например, форма высказывания х — современник у после подстановки вместо предметной переменной y собственного имени Пушкин превращается в форму высказывания х — современник Пушкина.

С помощью логических союзов формы высказывания можно связывать как друг с другом, так и с высказываниями, например, формы высказываний х > у, у > z можно связать логическим союзом и, в результате получим сложную форму высказываний: х > у и у > z. Она выражает новое условие, которому удовлетворяют одни тройки чисел, и не удовлетворяют другие.

Одна и та же предметная переменная может входить в форму высказывания два, три и большее число раз. Например, переменная у входит в форму высказывания х > у и у > z дважды. Осуществляя подстановку, необходимо следить за тем, чтобы вместо одной и той же предметной переменной на всех местах, где она входит в данную форму высказывания, подставлялось одно и то же собственное имя. Например, из формы высказывания х > у и у > z в результате подстановки можно получить истинное высказывание 5 > 3 и 3 > 2, но нельзя получить высказывания 5>4 и 3>2.

Итак, в результате подстановки единичных терминов вместо всех предметных переменных форма высказывания превращается в истинное или ложное высказывание. Но формы высказываний могут превращаться в высказывания и в результате присоединения к ним кванторов. Если, например, перед формой высказывания Если х — металл, то х проводит электричество, содержащей единственную предметную переменную х, поставить квантор для всех... имеет место, что, с указанием, что он относится к этой переменной, то форма высказывания превратится в истинное высказывание: Для всех х имеет место, что если хметалл, то х проводит электричество. Сходным образом, поставив перед формой высказывания х — простое число и х > 1010, квантор для некоторых... имеет место, что с переменной х получаем истинное высказывание Для некоторых х имеет место, что х — простое число и х > 1010.

Кванторы связывают предметные переменные в том смысле, что вместо переменной, находящейся в области действия квантора, нельзя уже больше подставлять единичные термины. Если с помощью кванторов «связать» все переменные, содержащиеся в данной форме высказывания, то образуется истинное или ложное высказывание.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных