Семантика логических знаков

Точный смысл (семантика) логических знаков может быть разъяснен с помощью специальных таблиц, в которых зафиксировано, при каких логических значениях формул А и В формулы ~ А, (А Ù В), (A Ú B), (А ® В), (А «В) и (А «В) истинны, а при каких ложны.

Рассмотрим таблицы формул, содержащих в качестве главного логического знака различные логические союзы.

Отрицание

В первом столбце таблицы выписаны оба возможных логических значения формулы А: истина (и) и ложь (л), а во втором столбце—соответствующее логическое значение формулы ~ А. Из таблицы видно, что когда формула А истинна, формула ~ А ложна, а когда формула А ложна, формула ~ А истинна. Например, если высказывание 6 — четное число истинное, то высказывание Неверно, что 6 — четное число ложное. Если же высказывание 6 — простое число ложное, то высказывание Неверно, что 6 — простое число ложное.

Конъюнкция

Так как каждая из формул А и В может быть истинной или ложной, то возможны четыре различных случая: А и В обе истинны; А ложна, а В истинна; А истинна, но В ложна; наконец, А и В обе ложны. Таблица построена таким образом, что в первых двух столбцах каждая строка — это одно из возможных сочетаний логических значений А и В. Для каждого из них в соответствующей строке третьего столбца указано логическое значение (А Ù В). Из таблицы видно, что формула (А Ù В) истинна в случае, когда формулы А и В истинны, и ложна в остальных.

Например, если высказывания 2 — простое число и 2 — четное число истинные, то высказывание 2 — простое число и 2 — четное число истинное, если же взять ложное высказывание 4 — простое число и истинное высказывание 4 — четное число, то 4 — простое число и 4 — четное число будет ложным высказыванием. Если взять истинное высказывание 5 — простое число и ложное высказывание 5 — четное число, то 5 — простое число и 5 — четное число будет ложным высказыванием. Наконец, если взять ложные высказывания 9 — простое число и 9 — четное число, то 9 — простое число и 9 — четное число будет ложным высказыванием.

Дизъюнкция

Формула (A Ú B) истинна тогда и только тогда, когда истинна по крайней мере одна из формул А и В. Например, высказывание У него хорошие способности к математике или он раньше уже решал такие задачи истинно в том случае, когда истинно высказывание У него хорошие способности к математике, но ложно высказывание Он раньше уже решал такие задачи, в том случае, когда ложно высказывание У него хорошие способности к математике, но истинно высказывание Он раньше уже решал такие задачи, а также в том случае, когда истинны оба высказывания У него хорошие способности к математике и Он раньше уже решал такие задачи.

И только, когда ложны оба дизъюнкта, т. е. ложно высказывание У него хорошие способности к математике и ложно высказывание Он раньше уже решал такие задачи, сложное высказывание У него хорошие способности к математике или он раньше уже решал такие задачи ложно.

Импликация

Формула (А ® В) ложна тогда и только тогда, когда формула А истинна, а В ложна, и истинна, если формула А ложна или если формула В истинна.

Настоящая таблица, в особенности вторая и четвертая ее строки, требует пояснения. Прежде всего следует учитывать, что в естественных языках союз если... то употребляется в разных смыслах: для выражения причинной зависимости (Если воду нагреть до 100°, то она превратится в пар; Если река замерзла, то был мороз), для выражения временной последовательности событий (Если сегодня пятница, то завтра суббота), для выражения связи цели и средства (Если не хочешь ошибиться, то будь внимателен), для выражения какой-нибудь условной договоренности (Если ты решишь все задачи, то получишь зачет) и т. д., в каждом из которых если... то имеет свою специфику. Однако мы отвлекаемся от того, какова природа зависимости В от А, и придаем союзу если... то только тот смысл, который выражен в таблице.

Данное уточнение смысла если... то оправдано обычным словоупотреблением. Ведь когда полагают истинным сложное высказывание Если А, то В, обычно не хотят сказать, что А и В обязательно истинны, а только стремятся указать, что если А истинно, то истинным будет и В (т. е. что если А истинно, то В не может быть ложным), если же А ложно, то В может быть как истинным, так и ложным. Точно так же В может быть истинным как при истинном, так и при ложном А.

Рассмотрим, например, сложное высказывание Если данное слово стоит в начале предложения, то данное слово пишется с большой буквы. Слово может не стоять в начале предложения, но писаться с большой буквы (разумеется, уже по другому основанию). Слово может не стоять в начале предложения и не писаться с большой буквы, и тем не менее сложное высказывание о том, что если оно стоит в начале предложения, то пишется с большой буквы, остается истинным. Сложное высказывание окажется ложным, только если данное слово стоит в начале предложения, но не пишется с большой буквы, т. е. только если высказывание Данное слово стоит в начале предложения истинно, а высказывание Данное слово пишется с большой буквы при этом ложно.

В том, что таблица для импликации выражает обычный, принятый и в традиционной логике смысл союза если... то, можно убедиться, проанализировав употребление союза если... то в условно-категорическом силлогизме.

Исходя из истинности суждений А и Если А, то В, заключают об истинности суждения В. Это, как известно, modu s ро n e ns (утверждающий способ) условно-категорического силлогизма. В таблице данный логический факт представлен первой ее строкой, где при истинных А и (А ® В) формула В истинна. Рассмотрим также случай, когда суждение В ложно, а суждение Если А, то В истинно. Эти посылки определяют modu s tolle ns (отрицающий способ) условно-категорического силлогизма, согласно которому суждение А ложно. Этому случаю в таблице отвечает ее четвертая строка.

Рассмотрим теперь случаи, когда суждение А ложно, а суждение Если А, то В истинно. Известно, что из таких посылок не следует ни истинность, ни ложность В. Этому случаю в таблице отвечают две строки, вторая и четвертая, причем во второй — В истинно, а в четвертой — ложно.

Рассмотрим далее случай, когда при истинном суждении Если А, то В суждение В тоже истинное. Хорошо известно, что из таких посылок также не следует ни истинность, ни ложность A. В таблице этому случаю соответствуют строки первая и вторая — в первой А истинно, во второй — ложно.

Наконец, целесообразность такого уточнения союза если... то, которое дано в таблице для импликации, можно пояснить следующими соображениями.

Теорема Если число делится на 6, то оно делится на 3 истинна не только потому, что существуют числа, для которых истинно как то, что они делятся на 6, так и то, что они делятся на 3. Истинность этой теоремы для всех чисел не подрывается ни существованием чисел, не делящихся на 6, но делящихся на 3 (например, числа 15), ни существованием чисел, не делящихся ни на 6, ни на 3 (например, числа 13). Единственное, что сделало бы эту теорему ложной, это существование такого числа, которое, делясь на 6, не делилось бы на 3. Известно, что такого числа нет, и поэтому наша теорема истинна для всех целых чисел.

Эквивалентность

Формула (А «В) истинна либо когда формулы А и В обе истинны, либо когда они обе ложны. Например, сложное высказывание Данный прямоугольник — квадрат тогда и только тогда, когда все стороны данного прямоугольника равны истинно потому, что когда истинно высказывание Данный прямоугольник — квадрат истинно и высказывание Все стороны данного прямоугольника равны, а когда ложно высказывание Данный прямоугольник — квадрат, то ложно и высказывание Все стороны данного прямоугольника равны. И сложное высказывание было бы ложным, если бы нашелся прямоугольник, относительно которого истинно высказывание Данной прямоугольник — квадрат, но ложно высказывание Все стороны данного прямоугольника равны или если бы нашелся прямоугольник, относительно которого ложно высказывание Данный прямоугольник — квадрат, но истинно высказывание Все стороны данного прямоугольника равны.

Исключающая дизъюнкция

Формула (А ¹ В ) истинна, когда А ложно, но В истинно, или когда А истинно, но В ложно. В остальных случаях она ложна.

Например, высказывание Либо данное дерево лиственное, либо данное дерево хвойное истинно потому, что относительно одного и того же дерева высказывания Данное дерево лиственное и Данное дерево хвойное не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными.

Построив искусственный логический язык, постоянным которого придан точный смысл, мы можем теперь переводить на него выражения естественного языка. Перевод с обычного разговорного языка на язык логики высказываний осуществляется в результате содержательного анализа смысла предложений. Отсутствие формальной процедуры перехода от высказываний к формулам объясняется тем, что в естественных языках нет однозначного соответствия между смыслом и способами его выражения. В них обычно имеется несколько различных способов выражения одной и той же мысли (явление синонимии), а одно и то же предложение может выражать разные мысли (явление омонимии).

Перевод с естественного языка на язык логики высказываний затрудняется, в частности, синонимией и омонимией, которые связаны со словами естественного языка, выражающими логические постоянные. Например, знаку ®, точный смысл которого в языке логики высказываний определяется таблицей, соответствуют в естественном языке не только слова если.... то, но иногда также слова когда... тогда (когда число делится на 6, тогда оно делится на 3); то, что... влечет (то, что число делится на 6, влечет то, что оно делится на 3) и др. В то же время слова если... то могут иметь смысл знака конъюнкции Ù (например, в высказывании Если в планиметрии изучают плоские геометрические фигуры, то в стереометрии изучают трехмерные геометрические тела), а слову или может соответствовать по смыслу не только знак дизъюнкции Ú, но и знак строгой дизъюнкции ¹ (n — четное число или n — нечетное число).

Рассмотрим на примере, каким образом осуществляется такой перевод. Для того чтобы сложное высказывание Он молчит, а Варенька поет ему «Виют витры», или глядит на него задумчиво своими темными глазами, или вдруг зальется: «Ха-ха-ха!» (Чехов) перевести на язык логики высказываний, требуется решить ряд вопросов.

Во-первых, нужно выявить все элементарные высказывания, которые входят в состав данного сложного, и различным элементарным высказываниям поставить в соответствие различные пропозициональные переменные. Будем в данном случае считать элементарными высказывания Он молчит; Варенька поет ему «Виют витры»; (Варенька) глядит на него задумчиво своими темными глазами; (Варенька) вдруг зальется: «Ха-ха-ха!». Поставим этим высказываниям в соответствие пропозициональные переменные р, q, r, s.

Во-вторых, нужно определить логические постоянные, с помощью которых построено данное сложное высказывание. Союз a имеет здесь, очевидно, тот же смысл, какой имеет союз и, поэтому переведем его знаком конъюнкции Ù. Первое или можно перевести знаком дизъюнкции Ú, так как песня грустная и, по-видимому, можно одновременно петь ее и глядеть задумчиво. Второе или, скорее всего, имеет смысл строгой дизъюнкции, так как исключается возможность одновременно смеяться и петь или задумчиво глядеть.

И наконец, в-третьих, анализируя порядок, в котором данное сложное высказывание строится из элементарных, нужно написать соответствующую ему формулу. Таким образом, в результате нашего, в известной степени произвольного, анализа текста мы можем, в конце концов, написать формулу

(p Ù ((q Ú r) ¹ s)).

Осуществив настоящий перевод с естественного языка на язык логики высказываний, мы достигли того, что избавились от всей информации, которая не относится к логике, выявили логическую структуру сложного высказывания, сделали ее недвусмысленной и доступной прямому наблюдению.

Упражнения

I. Перевести на язык логики высказываний следующие предложения:

1. Андрей идет в кино только в том случае, когда там показывают комедию.

2. Для того чтобы n было нечетным, достаточно, чтобы n было простым.

3. Если в следующее воскресенье не будет дождя и я буду здоров,то я пойду в лес и буду собирать грибы.

4. Параллелограмм является квадратом, если и только если он прямоугольник и все его стороны равны.

5. Если Петр любит ходить в гости, то Павел домосед.

6. Если кто из товарищей опаздывал на молебен, или доходили слухи о какой-нибудь проказе гимназистов, или видели классную даму поздно вечером с офицером, то он очень волновался и все говорил, как бы чего не вышло (Чехов).

7. Если я долго не приезжал в город, то значит, я был болен или что-нибудь случилось со мной, и они оба сильно беспокоились (Чехов).

II. Перевести на язык логики высказываний предостережение, которое было сделано одной из жительниц древних Афин своему честолюбивому сыну, собиравшемуся прославиться с помощью ораторского искусства, и ответ сына.

1. Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят богатые и знатные. Если ты будешь лгать, то тебя возненавидит простой народ. Но ты должен или говорить правду, или лгать. Значит, тебя возненавидят богатые и знатные или тебя возненавидит простой народ.

2. Если я буду говорить правду, то меня прославит простой народ. Если я буду лгать, то меня прославят богатые и знатные. Но я должен говорить правду или лгать. Значит, меня прославит простой народ или прославят богатые и знатные.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: