Простые и сложные высказывания

Под высказыванием, как было сказано выше, понимается языковое выражение, о котором можно сказать только одно из двух: истинно оно или ложно.

Вопросы, просьбы, приказы, восклицания не являются высказываниями. Не являются высказываниями и отдельные слова (кроме случаев, когда они выступают представителями

высказываний - "вечереет", "похолодало" и т.п.).

Истинность и ложность высказываний называются их логическими значениями. Высказывания, как и их логические формы, бывают простыми и сложными. Сложное высказывание можно разбить на простые. Простое высказывание на более простые не расчленяется.

Например, высказывание "Полоцк - один из самых древних городов Беларуси, а Новополоцк - один из самых юных" можно разбить на два простых высказывания. Поэтому это сложное высказывание.

Простые высказывания обозначаются строчными буквами латинского алфавита р, q, г, s,.... В качестве переменных для любых высказываний (простых, сложных) будем использовать прописнвые буквы этого алфавита A,B,C,D…

Важно обратить внимание на тот факт, что логическое значение сложного высказывания в современной логике ставится в зависимость от логических значений простых высказываний. Последние рассматриваются в качестве исходных элементов логики высказываний, ее строительных блоков.

Сложные высказывания образуются из простых с помощью особых функторов. Важнейшие из них - отрицание, конъюнкция, дизъюнкция (слабая и сильная), импликация, эквиваленция. Сложное высказывание принято называть именем функтора, с помощью которого оно образовано.

Отрицанием высказывания A называется высказывание, обозначаемое выражением -A, которое истинно тогда и только тогда, когда A ложно. Данное определение можно выразить с помощью следующей таблицы (таблицы истинности), где "и" обозначает "истинно", а "л" - "ложно":

Таблица 1

Пример: высказывание "Солнце - не звезда" является отрицанием высказывания "Солнце -звезда"; первое из них ложно, второе -истинно. Верно и обратное.

Конъюнкцией высказываний A и B называется высказывание, обозначаемое выражением A^B, которое истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны (см. 3-й столбец табл. 2). Выражение A^B читается: "A и B". В разговорном языке конъюнкция может быть выражена грамматическими союзами "а", "но", "да", "хотя", "однако" и др.

Примеры: высказывание "6 делится на 2 и на 3" истинно, высказывание "5 - простое число и делится на 2" - ложно.

Таблица 2

A	B	A^B	A B	A B	A→B	A↔B
и	и	и	и	л	и	и
л	и	л	и	и	и	л
и	л	л	и	и	л	л
л	л	л	л	л	и	и

Дизъюнкцией слабой высказываний A и B называется высказывание, обозначаемое выражением A B, которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из выражений A и B истинно (см. 4-й столбец табл. 2). Выражение A B читается: "A или B". Ему могут соответствовать и другие грамматические связи.

Примеры: "Квадрат - ромб или параллелограмм" - истинно; "Квадрат - ромб или трапеция" - истинно; "Квадрат - трапеция или круг" - ложно.

Дизъюнкцией сильной высказываний A и B называется высказывание, обозначаемое выражением A B, которое истинно тогда и только тогда, когда лишь одно из выражений A и B истинно (см. столбец 5-й табл. 2). Выражение A B читается: "либо A, либо B".

Примеры: "Всякое высказывание либо истинно, либо ложно" -истинно; "Всякое высказывание либо неистинно, либо ложно" - ложно.

Импликацией высказываний A и B называется высказывание, обозначаемое выражением A→B, которое ложно тогда и только тогда, когда A истинно, a B ложно (см. 6-й столбец табл. 2). Выражение A→B читается: "если A, то B". При этом A называется антецедентом, a B - консеквентом импликации.

Пример: "Если в обращении появляется избыток бумажных денег, то они обесцениваются" - истинно; "Если предприятие становится рентабельным, то производительность труда на нем падает" - ложно.

Эквиваленцией высказываний A и B называется высказывание, обозначаемое выражением A↔B, которое истинно тогда и только тогда, когда логические значения A и B совпадают (см. 7-й столбец табл. 2). Выражение A↔B читается: "A тогда и только тогда, когда B", "A эквивалентно B".

Примеры: "Четырехугольник параллелограмм тогда и только тогда, когда его диагонали точкой пересечения делятся пополам" - истинно; "Монета падает орлом тогда и только тогда, когда она падает решкой" - ложно.

Названные операции могут применяться как для действий с простыми, так и со сложными высказываниями. Например, высказывание "Если я устал или голоден, то я не могу готовиться к занятиям" является импликацией, антецедент которой в свою очередь - сложное высказывание (слабая дизъюнкция). Зная логические значения исходных высказываний, можно составить таблицу истинности высказывания более сложной формы. Порядок выполнения операций при этом указывается скобками.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: