Отношения между сложными высказываниями

Учитывая совпадение или расхождение истинностных значений двух сложных высказываний, мы можем установить следующие отношения между ними.

Если хотя бы при одном наборе истинностных значений простых высказываний два сложных высказывания оказываются истинными, то такие сложные высказывания называются совместимыми.

Например, высказывания а Ú b и а Ù b совместимы, т.к. в случае, когда а истинно и b истинно, их дизъюнкция и конъюнкция также будут истинными.

Более интересно отношение равнозначности, или эквивалентности: два высказывания эквивалентны, если при любых значениях входящих в них простых высказываний они принимают одни и те же истинностные значения. Построив таблицы истинности, мы легко убедимся в эквивалентности следующих высказываний:

ØØ a º a -двойное отрицание некоторого высказывания эквивалентно самому этому высказыванию; это соотношение позволяет нам избавляться от двойных отрицаний;

Ø(а Ù b) º Ø a Ú Ø b - отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний;

Ø (a Ú b) º Ø aÙ Ø b - отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний;

Ø(а ® b) º aÙ Ø b - отрицание импликации эквивалентно конъюнкции первого члена и отрицания второго члена; — эти три соотношения позволяют нам избавляться от отрицания сложных высказываний и «опускать» его на простые высказывания;

а ® b º Ø a Ú b - выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание - это и подобные ему соотношения позволяют нам заменять одни логические связки другими.

Наконец, важнейшим отношением является отношение логического следования: из высказывания а следует высказывание b, если всегда, когда истинно а, истинно также и b.

Например, построим таблицу истинности для высказываний а Ù b и a Ú b:

Рассматривая эту таблицу, мы замечаем, что в единственном случае, когда истинна конъюнкция а Ù b, и истинна и дизъюнкция а Ú b, поэтому мы можем сказать, что из высказывания а Ù b, логически следует высказывание а Ú b.

Важнейшее свойство логического следования состоит в том, что следствие должно быть истинно, если истинна посылка; из истины не может следовать ложь, если мы рассуждаем по правилам логики. Но как раз это свойство и передает импликация: высказывание а ® b становится ложным, когда а истинно, а b ложно. Поэтому, установив, что из конъюнкции а Ù b логически следует дизъюнкция a Ú b, мы можем утверждать их импликацию: (а Ù b) ® (a Ú b). И эта импликация всегда будет истинной.

Покажем теперь, как эти отношения между высказываниями могут быть использованы для решения простых логических задач.

Пример: В деле об убийстве имеется двое подозреваемых - Пьер и Жан. Допросили четверых свидетелей. Показание первого свидетеля таково:

—Я знаю только, что Пьер не виноват.

Второй свидетель сказал:

—Я знаю лишь, что Жан не виноват.

Третий свидетель:

—Я знаю, что из первых двух показаний по меньшей мере одно истинно.

Четвертый:

—Я знаю, что показания третьего свидетеля ложны. Четвертый свидетель оказался прав. Кто же совершил преступление?

Обозначим высказывание «Пьер виноват» через а; высказывание «Жан виноват» — через b. Тогда показание первого свидетеля будет выглядеть так: Ø а; показание второго свидетеля примет вид: Ø b. Третий свидетель утверждает дизъюнкцию показаний первых двух свидетелей, т. е. Ø а Ú Ø b. «Четвертый свидетель утверждает, что эта дизъюнкция ложна, т. е. отрицает ее: Ø(Ø а Ú Ø b). Нам сказано, что последнее утверждение истинно. Теперь преобразуем его, опираясь на указанные выше эквивалентности: Ø (Ø а Ú Ø b) º ØØ a & ØØ b º а & b.

Последняя конъюнкция истинна, а это значит, что истинно суждение а и истинно суждение b, т. е. Пьер и Жан вместе совершили преступление.

Упражнение № 4.9. При истинности исходного суждения “X знает Y, но Y не знает X” определите истинностные значения следующих суждений:

Х и Y знают друг друга____________________________________________________

Х и Y не знают друг друга__________________________________________________

Y знает X, или Х не знает Y_________________________________________________

Либо Y не знает X, либо Х знает Y___________________________________________

Х не знает Y и Y не знает X_________________________________________________

Неверно, что Х и Y не знают друг друга______________________________________

Если Х знает Y, то Y знает X________________________________________________

Если Х не знает Y, то Y знает X_____________________________________________

Если Y не знает X, то Х не знает Y___________________________________________

Х знает Y тогда и только тогда, когда Y знает X_______________________________

Упражнение № 4.10. Предположим, что мы приехали на остров, на котором живут рыцари и лжецы, и каждый житель острова является либо рыцарем, либо лжецом. Рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжет. Используя табличные определения логических союзов, решите следующие задачи.

Вы встречаете двух туземцев Х и Y.

Х говорит: “Я лжец, или Y - рыцарь”. Кто такой Х - рыцарь или лжец? Кто такой Y.

_________________________________________________________________________

X: “Я лжец, а Y не лжец”. X? Y?_____________________________________________

X: “Если я рыцарь, то Y - рыцарь”. X? Y?_____________________________________

Вы встречаете трех туземцев: X, Y, Z.

X: “Y рыцарь”____________________________________________________________

Y: “Если Х рьщарь, то Z - рыцарь”___________________________________________

Определить кто X, Y, и Z.

Упражнение № 4.11. На острове, населенном рыцарями и лжецами, разнесся слух, что на нем зарыты сокровища. Вы спрашиваете у X: “Есть ли на острове золото?”

X: “Сокровища на этом острове есть в том и только в том случае, если я рыцарь”.

Можно ли определить, кто такой X?__________________________________________

Можно ли определить, есть ли на острове сокровища?__________________________

Законы логики.

Формальная логика выделяет четыре основных закона, или принципа: тождества (всякая мысль в процессе рассуждения должна быть тождественной самой себе: (р ®р), непротиворечия (два несовместимых друг с другом суждения не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них необходимо ложно Ø(рÙØр), исключенного третьего (два противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными, одно из них необходимо истинно: (рÚØр), достаточного основания (всякая мысль признается истинной, если она имеет достаточное основание).

Закон тождества: всякая мысль в процессе рассуждения должна оставаться тождественной самой себе. Символически закон тождества выражается следующим сложным высказыванием: а ® а или а º а.

Например: Один английский журналист был привлечен к суду за то, что в своей статье обозвал супругу пэра «коровой». Дело он, конечно, проиграл, но в конце заседания решил спросить судью:

–Скажите, ваша честь, значит, в будущем я не могу называть баронессу коровой, так?

–Да, так.

–Ну а если я назову корову баронессой?

–Это будет неостроумно, но не подсудно.

–Благодарю вас, ваша честь, – сказал журналист и, обернувшись к истице, произнес: поздравляю, баронесса!

Закон противоречия (непротиворечивости): два противоположных суждения не могут быть одновременно истинными – по крайней мере одно из них необходимо ложно. формальным представлением закона противоречия будет выражение: Ø (а Ù Ø а), т. е. «неверно, что а и не- а». В отношении сложных суждений закон запрещает любые сложные высказывания, которым можно придать вид а Ù Ø а», причем под а имеются в виду не только простые, но и сложные суждения.

Упражнение № 4.12. Какие из приведенных ниже понятий являются противоречивыми.

солнечная ночь____________________________________________________________

сухая вода________________________________________________________________

холодный огонь___________________________________________________________

равносторонний прямоугольный треугольник_________________________________

разомкнутая окружность____________________________________________________

конечная бесконечность____________________________________________________

горячий лед______________________________________________________________

невиновный преступник___________________________________________________

неправильное правило_____________________________________________________

ослепительная темнота_____________________________________________________

таинственная мудрость_____________________________________________________

глупая мудрость___________________________________________________________

сухопутный кит___________________________________________________________

живой труп_______________________________________________________________

сказочная действительность_________________________________________________

непротяженное тело_______________________________________________________

Примеры студента: _______________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Упражнение № 4.13. В чем состоит нарушение закона противоречия в следующих примерах

В самый солнцепек вернувшись домой, говорится в одном из анекдотов о Нассредине, эфенди попросил жену: «Принеси-ка мне миску простокваши! Нет ничего полезней и приятней для желудка в такую жару!» Жена ответила: «Миску? Да у нас даже ложки простокваши нет в доме!» Эфенди сказал: «Ну и ладно, ну и хорошо, что нет. Простокваша вредна человеку». «Странный ты человек, – сказала жена, – то у тебя простокваша полезна, то вредна. Какое же из твоих мнений правильно?» Эфенди ответил: «Если она есть дома, правильно первое, а если ее нет, правильно второе»_______________________

_________________________________________________________________________

При покупке мертвых душ Чичиков говорит Собакевичу: "-Вы, кажется, человек умный, владеете сведениями, образованности. Ведь предмет просто фу-фу. Что ж он стоит? Кому нужен? " –Да вот вы же покупаете, стало быть нужен. Здесь Чичиков закусил губу и не нашелся, что отвечать"

_________________________________________________________________________

В романе И.С. Тургенева "Рудин" есть такой диалог Рудина и Пигасова: " –Прекрасно! – промолвил Рудин. – Стало быть, по-вашему, убеждений нет? –Нет и не существует.

–Это ваше убеждение? -Да. –Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно, на первый случай. Все в комнате улыбнулись и переглянулись"._______________________________________

_________________________________________________________________________

После долгого холостяцкого ужина, затянувшегося допоздна, Артур и Тессье никак не могут расстаться. "-Знаешь что? - говорит Артур. - Пойдем ко мне, я покажу тебе, как хорошо мы устроились на новой квартире." Действительно, квартира роскошная, и Артур охотно показывает приятелю все комнаты. "–Вот небольшая прихожая, здесь - столовая, вот - кухня, а это спальня. Включает свет и продолжает: - Видишь, какая широкая кровать? Эта красивая женщина на ней - моя жена... И растерянно, после небольшой паузы: - А тот мосье, что рядом с ней... это я!"_________________________________________

_________________________________________________________________________

Закон исключенного третьего: из двух противоречащих друг другу суждений одно обязательно истинно. Символически данный закон выражается так: а Ú Øа. Закон исключенного третьего относится к жестко фиксированным ситуациям, он справедлив и применим там, где возможно четкое решение и недвусмысленный ответ – да или нет.

Упражнение № 4.14. Установите, к каким из следующих - пар понятий применим закон исключенного третьего

грамотный – неграмотный__________________________________________________

глубокий – мелкий________________________________________________________

верующий – неверующий___________________________________________________

верующий – атеист________________________________________________________

протяженное тело – непротяженное тело______________________________________

доказуемый – недоказуемый________________________________________________

сладкий – горький_________________________________________________________

убежденный – уверенный__________________________________________________

сообразительный – схватывающий на лету____________________________________

обратимый – необратимый__________________________________________________

Примеры студента: _______________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Упражнение № 4.15. Найдете ли вы здесь нарушения закона исключенного третьего

К мудрецу пришел крестьянин и сказал: «Я поспорил со своим соседом». Он изложил суть спора и спросил: «Кто прав?» Мудрец ответил: «Ты прав». Через некоторое время к мудрецу пришел второй из споривших. Он рассказал о споре и спросил: «Кто прав?» Мудрец ответил: «Ты прав». «Как же так, – спросила мудреца жена, – тот прав и другой прав?» «И ты права, жена», – ответил мудрец.__________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

"Конечно, Иванов не отличник, но, с другой стороны, у него нет других оценок, кроме пятерок."

_________________________________________________________________________

"Я, конечно, не хочу сказать, что за истекший период наша организация ничего не делала. Но я не возьму на себя смелость и утверждать, что организация что-нибудь делала."_________________

_________________________________________________________________________

Все заметно волнуются. Невозмутимы только бывалые воины, а их среди нас не так уж мало

Закон достаточного основания: всякая истинная мысль должна иметь достаточное основание.

Упражнение № 4.16. Является ли первое из двух приведенных ниже суждений достаточным основанием для второго суждения

Он хорошо учится. Он достоин именной стипендии.___________________________

У него плохое материальное положение. Ему необходимо поставить на экзаменах высокую оценку.

Это предложение длинное. Это предложение сложное.__________________________

Данная мысль построена правильно. Данная мысль истинна._____________________

Данное определение соответствует правилам логики. Данное определение логически правильно.

Примеры студента: _______________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Всегда истинные высказывания называются " тавтологиями" или "тождественно истинными высказываниями". Они-то и считаются законами логики, ибо в схематичном виде представляют те формы рассуждений, связи мыслей, следуя которым мы приходим к истинным заключениям. Среди них можно отметить следующие:

1. ØØ а ® а.

2. (а Ù b) ® (b Ù a).

3. (а Ù b) ® a.

4. а ®(b ®(а Ù b).

5. ((а ® b) Ù (b ® c)) ® (а ® c).

6. (а Ú b) ® (b Ú a).

7. (а Ú b) ® (b ® a).

8. а ® (а Ú b).

9. ((а ® b) Ù a) ® b.

10. ((а Ú b) Ù Ø a) ® b.

Литература

1. Брюшкин В.Н. Практический курс логики для гуманитариев. Учебное пособие.
-М.: Новая школа, 1996. Глава 12.

2. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика: Учебник для юридических факультетов и институтов. -М.: Юристъ, 2001. Глава 7.

3. Никифоров А.Л. Книга о логике. - М.: Гнозис, Русское феноменологическое общество, 1996, Лекция 7.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: