ДОПОЛНЕНИЕ 4. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА

Распределение Планка дает энергию du излучения черного тела в единице объема, приходящуюся на узкий интервал длин волн от λ до λ + dλ, в виде

Здесь Т — температура; k = 1,38 × 10-16 эрг/К — постоянная Больцмана; с = 299 792 км/с — скорость света; е = 2,718… — числовая постоянная; h = 6,625 × 10-27 эрг·с — постоянная Планка, впервые введенная Максом Планком в качестве составной части этой формулы.

Для больших длин волн знаменатель в распределении Планка можно приближенно записать в виде

Следовательно, в этой области длин волн распределение Планка дает

Это — формула Рэлея-Джинса. Если ее применить для произвольно малых длин волн, то du/dλ станет бесконечной при λ → 0 и полная плотность энергии излучения черного тела будет бесконечной.

К счастью, du в формуле Планка достигает максимума при длине волны

и затем плавно спадает с уменьшением длины волны. Полная плотность энергии излучения черного тела равна интегралу

Подобные интегралы можно найти в стандартных таблицах определенных интегралов; в результате

Это — закон Стефана-Больцмана.

Мы можем легко интерпретировать распределение Планка в терминах квантов света или фотонов. Каждый фотон имеет энергию, определяемую формулой

Отсюда, число фотонов dN в единице объема излучения черного тела, приходящееся на узкий интервал длин волн от λ до λ + dλ, равно

Полное число фотонов в единице объема 1 см3 равно тогда

а средняя энергия фотона:

Рассмотрим теперь, что происходит с излучением черного тела в расширяющейся Вселенной. Предположим, что размер Вселенной изменился в f раз; например, если Вселенная удваивается в размере, то f = 2.

Как мы видели в главе II, длины волн изменяются пропорционально размеру Вселенной и будут иметь новое значение

После расширения плотность энергии du' в новом интервале длин волн от λ' до λ' + dλ' меньше первоначальной плотности энергии du в старом интервале длин воли от λ до λ + dλ по двум различным причинам.

1. Так как объем Вселенной увеличился в f3 раз, то до тех пор, пока не рождалось и не уничтожалось никаких фотонов, их число в единице объема уменьшилось в f3 раз, т. е. изменилось на множитель 1/ f3.

2. Энергия каждого фотона обратно пропорциональна его длине волны и поэтому уменьшилась на множитель 1/ f. Отсюда следует, что плотность энергии уменьшилась на общий множитель 1/ f3, умноженный на 1/ f, то есть на множитель 1/ f4:

Если мы теперь перепишем эту формулу, введя новую длину волны λ', то она примет вид

Но это в точности та же формула, что и старая формула для du, выраженная через λ и dλ, за исключением того, что Т заменяется новой температурой

Следовательно, мы заключаем, что свободно расширяющееся излучение черного тела продолжает описываться формулой Планка, но с температурой, падающей обратно пропорционально масштабу расширения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: