Криволинейные интегралы

1. Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги).

Определение 10. Параметризованной кривой условимся называть непрерывное отображение , . В уравнении параметризации параметр.Параметризованная кривая называется замкнутой, если и разомкнутой, если . Параметризованная кривая называется простой или жордановой, если , кроме случая для замкнутых кривых. Параметризованная кривая называется гладкой, если существует непрерывная производная , причём .

Чтобы определить понятие длины параметризованной кривой, возьмём разбиение отрезка , где , и вычислим сначала длину ломаной линии, соединяющей последовательно точки :

, (18)

где - координаты вектора .

Определение 11.Параметризованная кривая называется спрямляемой, если существует конечный предел сумм (18) при стремлении параметра разбиения к нулю, и этот предел называется длиной параметризованной кривой:

.

Теорема 10. Если параметризованная кривая - гладкая, то она спрямляема и для её длины справедлива формула:

(19)

Определение 12. Две гладкие параметризованные кривые и называют эквивалентными, если существует такой диффеоморфизм , что .

Так определённое отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Поэтому множество всех гладких параметризованных кривых разбивается на попарно непересекающиеся классы эквивалентных параметризованных кривых. В дальнейшем мы будем называть гладкой кривой класс эквивалентных между собой параметризованных кривых. При этом имеет место

Теорема 11. Если параметризованные кривые , эквивалентны, то их длины равны.

Таким образом, в отличие от параметризованной кривой, где параметризация фиксирована, на одной и той же гладкой кривой могут задаваться различные параметризации.

Пусть - гладкая кривая, заданная параметрически отображением -жорданово множество. Пусть задана непрерывная функция .

Определение 12. Криволинейный интеграл первого рода от функции f по кривой определяется равенством

, (20)

где .

Существование криволинейного интеграла первого рода обеспечивается тем, что в правой части равенства (20) стоит интеграл Римана от непрерывной функции.

В частности, если кривая является плоской, т.е. , то

. (21)

В случае, если задана в явном виде уравнением (), формула (21) примет вид:

, .

В случае, если параметризация плоской кривая посредством полярных координат , приведена к виду , где функции непрерывны на промежутке [ ], определяющем на кривой концевые точки, то:

,

где .

Если – пространственная гладкая кривая в , формула (20) запишется в виде

.

Равенство (20) позволяет распространить большую часть свойств интеграла Римана на криволинейные интегралы 1-го рода. Отметим различия. Для этого понадобятся следующие понятия. Будем товорить, что на параметризованной кривой задана ориентация, если на ней задано направление обхода - от точки к точке или наоборот. Будем полагать, что две эквивалентные параметризованные кривые и ориентированы одинаково (противоположно), если диффеоморфизм , обеспечивающий их эквивалентность (см. опр. 12), возрастает (убывает).

Определение 13. Ориентированная кривая – это класс эквивалентности одинаково ориентированных праметризованных кривых.

Криволинейные интегралы 1-го рода, в отличие от интеграла Римана, не зависят от параметризации кривой, в частности, не зависят и от ориентации кривой интегрирования.

2. Криволинейные интегралы второго рода (по координатам).

Пусть = гладкая параметризованная кривая, заданная с помощью отображения , D - жорданово множество. Будем считать ориентированной от точки a к точке b. Пусть - непрерывное отображение с координатными функциями .

Определение 14. Криволинейный интеграл второго рода по ориентированной кривой L от отображения F определяется равенством:

(23)

где есть скалярное произведение вектора на вектор .

Существование этого интеграла обеспечивается тем, что в правой части формулы (23) стоит интеграл Римана от непрерывной функции. Это равенство позволяет перенести основные свойства интеграла Римана на криволинейный интеграл второго рода.

Подчеркнём существенное различие: криволинейный интеграл второго рода в отличие от криволинейного интеграла первого рода меняет свой знак на обратный при изменении ориентации кривой интегрирования:

.

То есть, криволинейные интегралы 2-го рода по двум эквивалентным параметризованным кривым равны, если кривые ориентированы одинаково, и различаются знаком в случае противоположной ориентации этих кривых.

В частности, если , т.е. задаётся параметризацией ,а отображение имеет координатные функции , то формула (23) принимает вид , (24)

Если , т.е. гладкая кривая = является плоской, формула (24) принимает вид:

(25)

В том случае, когда гладкая или кусочно-гладкая кривая задается явно непрерывно-дифференцируемой функцией и пробегается из точки A в точку В при изменении от до , то криволинейный интеграл 2-го рода, стоящий в левой части формулы (25), будет вычисляться по формуле:

Механический смысл криволинейного интеграла второго рода. Если вектор-функция задаёт силу, действующую в каждой точке кривой , , то криволинейный интеграл (24) выражает работу, которую совершает силовое поле, задаваемое силой , при перемещении материальной точки вдоль контура . То есть

.

Если обозначить - единичный вектор касательной к кривой в точке , то криволинейный интеграл 2-го рода связан с криволинейным интегралом 1-го рода по формуле:

,

где - направляющие косинусы упомянутого вектора касательной, - дифференциал длины дуги.

Вопросы для самопроверки:

1) Как определяется криволинейный интеграл I рода по дуге кривой?

2) Как определяется криволинейный интеграл II рода по координатам?

3) Какой из криволинейных интегралов (I или II рода) изменяет свой знак при изменении направления обхода кривой интегрирования? Почему?

4) По каким формулам вычисляется дифференциал длины дуги кривой?

Пример11. Вычислить , если 1) дуга параболы между точками и ; 2) отрезок прямой .

Решение. 1) Сведем вычисление криволинейного интеграла к определённому, полагая , , .

Тогда

2) Запишем уравнение прямой, проходящей через точки и :

; .

Следовательно,

Пример 12. Вычислить криволинейный интеграл , выражающий работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль контура окружности , пробегаемой против часовой стрелки.

Решение. Запишем параметрические уравнения окружности: (т.к. обход окружности ведется против часовой стрелки). Тогда искомая работа выражается криволинейным интегралом:

.

Задание 11

Вычислить криволинейные интегралы

a) первого рода;b) второго рода:

№	a/b	Вычислить интеграл	Контур 
	a		контур квадрата
	b		дуга параболы от до
	a		отрезок между точками и
	b		дуга параболы выше оси , пробегаемая по ходу часовой стрелки
	a		четверть эллипса в 1 квадранте
	b		ломаная, соединяющая точки , ,
	a		первая арка циклоиды ,
	b		ромб , , пробегаемый против часовой стрелки
	a		дуга кривой , , ,
	b		контур треугольника с вершинами , , , пробегаемый против хода часовой стрелки
	a		первый виток винтовой линии , ,
	b		прямая от до
	a		контур прямоугольника с вершинами , , ,
	b		первая четверть окружности , , пробегаемая против часовой стрелки
	a		первая арка циклоиды ,
	b		образован дугами парабол , и пробегается против часовой стрелки
	a		четверть окружности , , лежащая в первом октанте
	b		первая арка циклоиды ,
	a		Дуга параболы , отсеченная параболой
	b		, ,
	a		отрезок прямой между точками ,
	b		отрезок прямой от точки до точки
	a		Дуга кривой ,
	b		четверть окружности , ,
	a		первый виток конической винтовой линии , ,
	b		образован прямыми , , ,
	a		четверть окружности , , лежащая в первом октанте
	b		образован дугами кривых ,
	a		Дуга параболы между точками и
	b
	a		верхняя половина окружности
	b		отрезок прямой от точки до
	a		, от точки до точки
	b		кривая ,
	a		,
	b		кривая , , с началом в точке и концом в точке ,
	a		Дуга развертки окружности , ,
	b		от точки до точки
	a		, ,
	b		от точки до точки

3. Формула Грина Полный дифференциал функции.

В простых случаях зависимость между двойным интегралом по некоторой плоской области и криволинейным интегралом по кривой, ограничивающей эту область, выражается формулой Грина.

Определение13. Поверхностью с краем называется компактное топологическое пространство G, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную либо кругу , либо полукругу . Точки поверхности, окрестности которых гомеоморфны кругам, называются внутренними, а точки, у которых все окрестности гомеоморфны полукругам, называются точками края.

Объединение всех точек края называется краем поверхности и обозначается . Из топологии известно, что край поверхности можно представить в виде попарно непересекающихся связных компонент, каждая из которых гомеоморфна окружности. Важным частным случаем поверхности с краем является область с краем. Напомним, что под областью в понимается открытое связное множество.

Определение14. Областью с краем называется поверхность с краем, множество всех внутренних точек которой есть область в .

Если D -область с краем, - множество её внутренних точек, то . Возникает вопрос: в каких случаях граница и край области совпадают, а в каких случаях различаются? Понятия границы и края области совпадают, если граница представляет собой дизъюнктное объединение замкнутых жордановых кривых и различаются, если граница содержит хотя бы одну разомкнутую граничную кривую. В этом случае по разомкнутой кривой делают "разрез", в результате которого образуются два "берега", что позволяет раасматривать разомкнутую кривую как замкнутую, которая проходится дважды в противоположных направлениях по разным её берегам.

Будем говорить, что край области D ориентирован станлартным образом, если при движении точки вдоль этого края область остаётся слева.

Теорема15(формула Грина). Пусть D - область с гладким краем , ориентированным стандартным образом, а отображение непрерывно-дифференцируемо. Тогда

. (26)

Символ называется символом внешнего умножения. В этой формуле выражение по существу не отличается от элемента площади . Формула Грина даёт возможность вычислять площадь области с кусочно-гладким краем с помощью криволинейного интеграла.

Если в формулу (26) подставить , то справа получим интеграл , который выражает площадь области D. Кроме того, подставляя в (26) либо , либо , получим, что площадь ограниченной плоской области с кусочно-гладкой границей , можно вычислять по любой из формул

. (27)

Пример 13. Найти площадь, ограниченную петлёй декартова листа

х³+у³-3аху = 0.

Решение. Преобразуем сначала данное уравнение к параметрическому виду, полагая у = хt, тогда: , . Геометрически параметр есть угловой коэффициент полярного радиуса ОМ (см. рис.); точка М (х; у) опишет всю петлю кривой при изменении t от 0 до +∞. Криволинейный интеграл формулы (27) преобразуется в несобственный интеграл по переменной t:

Рис.4

Пусть -область, в которой заданы функции , имеющие непрерывные частные производные. Рассмотрим подинтегральное выражение криволинейного интеграла 2-го рода по гладкой кривой (25) . Это выражение называется дифференциальной формой первого порядка.

Определение15. Дифференцируемая функция называется первообразной для дифференциальной формы в области D, если . В этом случае выражение называется полным дифференциалом функции , отвечающим приращению (dx,dy), т.е. .

Определение16. Область называется односвязной, если для любого кон­тура , множество, ограниченное L, целиком лежит в D.

Если область односвязна, то любой контур можно непрерывно стянуть в точку, не выходя из D.

Теорема16. Пусть - односвязная область. Равносильны следующие утверждения:

1) ; (28)

2) если - любая замкнутая жорданова кривая, то ;

3) если кривая - разомкнутая, то не зависит от формы кривой L, а зависит зависит только от значений функции в начальной и конечной точках кривой интегрирования:

;

4) в каждой точке дифференциальная форма имеет первообразную, т.е. дифференциальная форма является полным дифференциалом некоторой функции .

Эту функцию можно найти по одной из следующих формул

(28)

где – произвольная постоянная. При этом начальную точку следует выбирать так, чтобы подынтегральные функции и были определены в этой точке (удобно выбирать одну из точек , и т.д.). Кроме того, предполагается, что ломаные, представляющие собой объединение отрезков интегрирования, принадлежат .

Пример 14. Проверить, является ли диференциальная форма

полным дифференциалом функции двух переменных. Если да, найти эту функцию.

Решение. Проверим выполнение условия (28), которое является критерием существования первообразной. Имеем: , ,

т,е. условие (28) выполняется. Для нахождения функции по формулам (28), выберем за начальную точку . Такой выбор вызван тем, что в начале координат (0, 0) функции и не определены. Получим

,

поскольку также является постоянной.

Вопросы для самопроверки

1. Какие интегралы связывает между собой формула Грина?

2. По каким формулам можно вычислить площадь плоской области, ограниченной кусочно-гладкой кривой?

3. Каким условиям должны удовлетворять подинтегральные функции , чтобы криволиненйный интеграл по жордановой кривой не зависел от формы контура интегрирования?

4. Если криволинейный интеграл не завиcит от формы контура интегрирования, от чего он зависит?

5. При каких условиях дифференциальная форма представляет собой полный дифференциал некоторой функции? Как найти эту функцию?

Задание 12

Проверить, является ли данная дифференциальная форма полным дифференциалом функции , и, если да, найти эту функцию.

№
	при

Пример15. Вычислить , где – контур треугольника с вершинами в точках А (– 1, 0), В (2, 0), С (0, 1) (рис.5).

Решение. Поскольку контур является замкнутым, применим формулу Грина. В нашем случае , , .

y

B 2

A C

х

–1 0 1

Рис. 5

Следовательно,

=

.

Задание 13

Вычислить криволинейные интегралы по формуле Грина, если:

	P(x,y)	Q(x,y)	L
			Контур треугольника с вершинами , ,
			Объединение дуги кривой , и отрезка оси OX
			Обединение дуги окружности , , и отрезков осей координат
			Контур треугольника с вершинами , , ,
			Контур треугольника с вершинами , ,
			Эллипс
			Окружность
			Эллипс
			Контур прямоугольника
			Контур квадрата с вершинами , , ,
			Окружность
			Объединение дуги окружности и отрезка оси OX
			Окружность
			Контур, образованный отрезком AB, , и дугой параболы
			Окружность
			Контур треугольника с вершинами , ,
			Объединение дуги окружности и отрезка оси OX
			Окружность
			Окружность
			Контур, образованный отрезком , , и дугой параболы , проходяшей через точки A,B и O(00).

Задание 14

Найти площади областей, ограниченных кривыми:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: