Параметри Вейса й індекси Міллера

Серію відношень раціональних чисел т: п: р для всіх паралельних площин можна подати як відношення цілих взаємно простих чисел р: q: r, так званих параметрів Вейса. У наведеному прикладі 1/2:1/3: ¥ = =1:2/3: ¥ = =3/2:1: ¥ = 2:4/3: ¥ =... = p: q: r =3:2: ¥.

У кристалографії прийнято характеризувати площини (або нормалі до них) не параметрами, а так званими індексами Міллера. Індекси Міллера - це величини, зворотні параметрам Вейса, наведені до цілих чисел. Якщо параметри площини р, q, r, то індекси Міллера визначаються зі співвідношення

1/p: 1/q: 1/r = h: k: l.

У наведеному прикладі (див. рисунок 2.4) маємо h: k: l = 2:3:0.

Числа h, k, l називаються індексами площини; індекси, написані підряд і узяті в круглі дужки (hkl), називають символом площини; у нашому прикладі це (230).

Символом (h k l) характеризується вся сукупність паралельних площин. Цей символ означає, що система паралельних площин розсікає відрізок а на h частин, b- на k частин і с- на l частин, тобто відтинає на осях координат відрізки а/h, b/k, l/с. Отже, щоб побудувати площину (h k l), треба нанести на осях координат ці відрізки й провести через них площину.

У загальному вигляді рівняння площини (h k l) і всієї родини паралельних їй площин буде

hx+ky+lz=N,

де N - завжди ціле число; h, k, l - взаємно прості цілі числа.

Для площини, що проходить через початок координат, N=0; для площини, найближчої до початку координат, N=1.

Запишемо рівняння площини АВС у параметричній формі Аx+Ву+Сz=N або площини, що проходить через початок координат Ах + Ву + Сz = 0. Тут х, в, z -поточні координати.

З рисунка 2.4 видно, що якщо площина паралельна осі координат, тобто перетинається із цією віссю в нескінченності, то індекс площини по цій осі буде 1/¥ = =0. Символи координатних площин незалежно від кутів між осями завжди будуть ХОY = (001), YOZ = (010), YOZ = =(100).

Метод опису граней і ребер кристала за допомогою індексів і символів був установлений задовго до того, як на досвіді була доведена ґраткова структура кристала. Він ґрунтувався на чудовому емпіричному законі кристалографії - законі цілих чисел.

Закон цілих чисел

Для пояснення закону за осі координат виберемо напрямок трьох непаралельних ребер кристалічного багатогранника, а за одиниці виміру (параметри) по цих осях - відрізки, що відтинаються на них будь-якою гранню кристала, взятою за «одиничну» (див. рисунок 2.5).

Нехай «одинична» грань відтинає на осях координат відрізки ОА, ОВ, ОС.

Закон цілих чисел, установлений Гаюї (1819), твердить:

для будь-яких двох граней реального кристала подвійні відношення параметрів дорівнюють відношенню малих цілих чисел, тобто

Рисунок 2.5 – Для пояснення закону Гаюї

ОА'/ОА: ОВ”/ОВ: ОС'/OС = р: q: r,

де р, q, r - цілі, взаємно прості й для реальних кристалів малі числа.

Цей закон називається також законом раціональних відношень, або законом раціональності парамет-рів.

Площина А'В'С' може бути гранню кристала, тільки якщо відрізки ОA', ОВ', OC', що відтинаються нею на осях координат, і “одиничні” відрізки ОА, ОВ, ОС, пов'язані співвідношенням, наведе-ним вище. Саме тому на зростаючому кристалі з'являються тільки грані певного нахилу, характерного для даної речовини.

Інакше кажучи, на кристалічному багатограннику утворяться лише такі грані, для яких подвійні відношення відрізків, що відтинаються даною гранню й «одиничною» гранню на трьох ребрах кристала, взятих за осі координат, дорівнюють відношенню невеликих цілих, взаємно простих чисел.

Грані, для яких відношення р:q:r є ірраціональним, не можливі в реальному кристалі. Як правило, р, q, r - числа, що не перевищують 5. Якщо ці числа будуть цілі, але більші 5, то грань можлива, але її поява малоймовірна.

Таким чином, відповідно до закону Гаюї нахил усякої грані кристала можна визначити трьома цілими числами, якщо за осі координат вибрати напрям трьох ребер кристала, а за параметри - відрізки, що відтинаються на цих осях однієї із граней кристала.

Рисунок 2.6 – Сліди площин з

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: