Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Зворотна (б) ґратки




Зоні площин прямих ґраток відповідає сітка із точок (вузлів) зворотних ґраток, причому вісь зони прямих ґраток нормальна до площини сітки зворотних ґраток. Нарешті, прямим просторовим ґраткам із площин { hkl } відповідають зворотні тривимірні ґратки із точок [[ hkl ]]*.

Основні вектори а*, b *, с * зворотних ґраток визначаються векторними добутками (1) або скалярними добутками:

(a*·a)=(b*·b)=(c*·c)=1, (2)

(a*·b)=(a*·c)=(b*·c)=(b*·a)=(c*·b)=(c*·a)=0.

З рівності (1) видно, що вектор а* нормальний до площини векторів b і с і т. п. Трійка векторів а*, b *, с* вибирається так, щоб вони, як і вектори а, b, с, становили праву трійку.

Вектори а*, b*, с* являють собою площинки елементарних паралелограмів у координатних площинах прямих ґраток, а за абсолютною величиною вони обернено пропорційні міжплощинним відстаням прямих ґраток:

|а*|= , ,

(у знаменнику - мішаний добуток векторів).

Прямі й зворотні ґратки сполучені взаємно, тобто ґратки, побудовані на осях а, b, с, є зворотними стосовно ґраток а*, b *, с*, а ґратки, побудовані на векторах а*, b*, с*, -зворотними стосовно ґраток а, b, с.

Наведемо основні властивості зворотних ґраток.

1 Вектор

(3)

зворотних ґраток перпендикулярний до площини (hkl) прямої ґратки, а довжина цього вектора дорівнює зворотній величині відстані d між площинами { hkl } прямої ґратки, тобто

, (4)
2 Об’єм V* елементарного осередку зворотних ґраток дорівнює зворотній величині об’єму V елементарного осередку прямих ґраток (і навпаки):

V* = (а* [b* ×с*])=1/V, (5)

V=(a·[b×c])=1/V*.

Для доведення першої властивості помітимо, що площина АВС із індексами (hkl) за визначенням, відтинає на координатних осях прямих ґраток відрізки а/h, b/k, c/ l (рисунок 4.13).

 

 

Рисунок 4.13- До пояснення властивостей зворотних ґраток

 

 

Отже, вектор (), тобто відрізок АB на рисунку 4.13 лежить у площині (hkl). Цей вектор перпендикулярний до того, що їхній скалярний добуток дорівнює нулю:

. (6а)

Точно так само вектор H*hkl перпендикулярний до вектора (), тобто до відрізка СА на рисунку 4.13

. (6б)

Якщо вектор H*hkl зворотних ґраток нормальний до двох непаралельних напрямків у площині (hkl), то він нормальний до самої площини (hkl). Якщо n — одиничний вектор нормалі до площини (hkl), то (а·n/h)— міжплощинна відстань для родини паралельних площин { hkl }. Оскільки n = Н*/|H*|, а також враховуючи рівність (2), отримаємо:

(7)

Перша властивість доведена.

Друга властивість безпосередньо складається із визначень і формул (1) і (3). Таким чином,

(8)

 

Кожній площині (hkl) прямої решітки відповідає вузол [[ hkl ]]* зворотних ґраток. Оскільки прямі й зворотні ґратки сполучені взаємно, така ж відповідність є між вузлами прямих ґраток і площинами зворотних ґраток.

Покажемо, наприклад, що оберненою до гранецентрованої ґратки буде об’ємно - центрована ґратка. Справді, у гранецентрованих кубічних ґратках відстані між площинами {100}, {010}або {001} дорівнюють а/2. Отже, у зворотних ґратках уздовж осей Х, В, Z є точки, розміщені на відстанях = . Їхні символи [[ 00]]; [[0 0]]; [[00 ]]. Відстані між площинами {111} у прямих ґратках дорівнюють , отже, у зворотних ґратках цим площинам відповідає точка на прямій <111>* на відстані від початку координат; якщо початок координат збігається з вершиною куба, то точка [[ ]] знаходиться в центрі куба. Ті самі співвідношення для ромбічних осередків показані на рисунку 4.14

Рисунок 4.14 - Пряма гранецентрована (а) і зворотна до неї об’ємно - центрована (б) ґратки

Аналогічно можна показати, що кубічній об’ємно - центрованій ґратці відповідає обернена гранецентрована.

Міллерівські індекси системи паралельних площин прямих ґраток є координатами ряду зворотних ґраток.

З формул (1), (2), (3) неважко вивести співвідношення між параметрами прямого осередку а, b, с, α, β, γ, і зворотного осередку а*, b*,с*, α*, β *, γ *:

(9)

звідки

(9а)

і

(10)

Поняття про зворотні ґратки вводиться в основному для опису періодичного розподілу відбиваючої здатності кристала стосовно рентгенівських променів. Відбиття рентгенівських променів від площин структури кристала описується формулою Вульфа — Брегга.

,

де λ - довжина хвилі рентгенівського випромінювання;

d - міжплощинна відстань для родини паралельних відбиваючих площин; n - ціле число, що характеризує порядок дифракційного спектра.

З умови Вульфа - Брегга видно, що при постійній λ великому d відповідає малий кут θ, тобто чим більше міжплощинна відстань, тим ближче напрямок відбитих променів до напрямку падаючого пучка. Відбиття рентгенівських променів від нескінченно протяжних ідеальних кристалів повинні бути точковими.

Кожен вузол зворотних ґраток відповідає можливому відбиттю від площин прямих ґраток кристала. Напрямок вектора зворотних ґраток H*hkl збігається з напрямком відбиття від площин { h k l }, а n-й вузол зворотних ґраток у цьому ряді відповідає відбиттю n-го порядку від цих площин.

Антисиметрія

Перетворення антисиметрії вводяться для об'єктів, що мають властивість змінювати знак. Прикладом може бути позитивний або негативний електричний заряд.

Операції антисиметрії перетворять об'єкт у симетрично еквівалентне положення та одночасно змінять його знак.

Як зазначив Шубніков, такі фізично реальні об'єкти, як електрон і позитрон, провідник у діелектрику й діелектрик у провіднику, крапелька води в повітрі й пухирець повітря у воді, фотографічні негатив і позитив, форми росту й форми розчинення кристалів, вимагають введення в навчання про симетрії поняття протилежно рівних або антирівних фігур. Антирівними вважаються фігури геометрично рівні, але які мають різний знак.

Щоб скласти зрозуміле уявлення про антирівність фігур, наведемо приклад А. В. Шубнікова: візьмемо рукавички, виготовлені зі шкіри, пофарбованої з лицьової сторони в чорний, а з виворотного боку в білий колір (рисунок 4.16).

Рисунок 4.16 - Антирівні фігури за Шубніковим

 

Рукавичка може бути: 1) правою білою із чорним одворотом, 2) лівою білою із чорним одворотом, 3) правою чорною з білим одворотом, 4) лівою чорною з білим одворотом.

Праву рукавичку при бажанні можна вивернути на виворіт і надягти на ліву руку. У цьому розумінні кожна рукавичка є чорною й білою, правою й лівою. При цьому:

дві праві білі рукавички рівні;

права біла й права чорна антирівні;

права й ліва білі енантіоморфні;

права біла й ліва чорна антиенантіоморфні.

Нагадаємо, що перетворення у звичайній площині симетрії зв'язують між собою дзеркально рівні фігури, не повертаючи їх «з особи навиворіт». Перетворення ж у площині антисиметрії не тільки переводить білу рукавичку в дзеркально рівне положення, але й робить її чорною (рисунок 4.17 а).

 

 

Рисунок 4.17 – Перетворення площиною антисиметрії (а) і віссю антисиметрії другого порядку (б)

 

На рисунку 4.17 б показано перетворення анти-симетричною віссю («антивіссю») другого порядку, перпендикулярною до площини креслення: чорна рукавичка повертається на 180° у площині креслення й одночасно перетвориться в білу.

Чорний і білий кольори тут символізують зміну знаку властивості, наприклад знаку електричного заряду, знаку спіна електрона.

Сполучаючи праву білу рукавичку із правою чорною, одержимо праву рукавичку, що не має кольору, тобто «сіру». Класичне навчання про симетрію мало справу саме з «сірими» фігурами. На рисунку 4.18 порівняні деякі перетворення симетрії й антисиметрії.

 

 

Рисунок 4.18 - Симетричні (а) і антисиметричні

Б) перетворення

 

Групи симетрії, у які входять операції антисиметрії,називають «чорно-білими» групами. Для кінцевих кристалографічних фігур існує 58 точкових чорно-білих груп. Введення антисиметричної трансляції збільшує число осередків Браве на площині від п'яти до десяти, а в просторі замість 14 «сірих» осередків Браве виходить 36 тривимірних «чорно-білих» осередків Браве.

Нескінченні перетворення описуються чорно-білими, або так званими шубніковськими групами, їх є 1651. В їх число входять й 230 відомих нам просторових груп.

Поняття антисиметрії відіграє істотну роль при визначенні структури кристалів і симетрії елементарних частинок.

Частина ІІ

Кристалохімія






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных