Линейные пространства

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Аналитическая геометрия

1. Кривые второго порядка. Канонические уравнения кривых.

2. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей.

3. Цилиндрические поверхности.

Линейные пространства

1. Линейные пространства, примеры (

2. Линейно зависимые и линейно независимые элементы, их свойства.

3. Доказать: если элементы { } являются линейными комбинациями элементов { } и m>n, то эти элементы { } являются линейно зависимыми.

4. Дать определение n-мерного линейного пространства и его базиса. Доказать, что любой элемент линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации его базисных элементов.

5. Доказать, что n элементов линейного пространства образуют его базис, если они линейно независимы и любой элемент линейного пространства может быть представлен в виде их линейной комбинации.

6. Найти базис и размерность арифметического пространства и пространства многочленов степени меньшей или равной n.

7. Дать определение полной системы элементов n-мерного линейного пространства и показать, что она содержит не менее n элементов. Показать, что если к базису линейного пространства добавить один или несколько любых его элементов, то полученная система элементов будет полной.

8. ----- Дать определение подпространства линейного пространства Е и показать, что оно также является линейным пространством, размерность которого не превосходит размерности пространства Е.

9. Показать, что многочлены, степень которых не превосходит n, образуют подпространство линейного пространства C [ a,b ]..

10. Показать, что базис подпространства линейного пространства всегда можно дополнить некоторыми элементами до базиса всего пространства.

11. Дать определение линейной оболочки элементов { } линейного пространства. Показать, что линейная оболочка является подпространством, а элементы { } образуют в нем полную систему. Пояснить также, почему для линейной оболочки остаются в силе все понятия, имеющие отношение к линейным пространствам (размерность, базис, полная система).

12. Доказать, что размерность линейной оболочки элементов { } равна максимальному числу линейно независимых элементов в системе элементов { }.

13. Показать, что если - базис линейной оболочки элементов , то .

14. Дать определение суммы и пересечения подпространств и показать, что они сами являются подпространствами. Дать определение прямой суммы подпространств и найти ее размерность.

15. Показать, что любой элемент, принадлежащий прямой сумме подпространств и единственным образом представим в виде суммы элементов и , причем, если и , то элементы линейно независимые.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: