Евклидовы пространства

16. Дать определение евклидова пространства, привести примеры таких пространств (.

17. Получить неравенство Коши-Буняковского, записать его применительно к числовым суммам и интегралам.

18. Дать определение нормы элемента, вывести ее свойства.

19. Показать, каким образом неравенство Коши-Буняковского позволяет ввести понятие угла между элементами евклидова пространства.

20. Доказать утверждения: 1) если элемент x принадлежит некоторому множеству и ортогонален ему, то x= 0, 2) если два множества ортогональны друг другу, то их пересечение или пусто или содержит только нулевой элемент.

21. Доказать утверждение: для того, чтобы элемент x был ортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален всем базисным элементам этого подпространства.

22. Доказать, что ненулевые взаимно ортогональные элементы евклидова пространства являются линейно независимыми.

23. Доказать теорему Пифагора для элементов евклидова пространства.

24. Доказать, что в любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

25. Показать, каким образом любая ортонормированная система элементов может быть достроена до ортонормированного базиса.

26. Показать, каким образом могут быть найдены скалярные произведения, нормы и координаты, элементов в ортонормированном базисе.

27. Дать определение ортогонального дополнения подпространства евклидова пространства и сформулировать его простейшие свойства.

28. Дать определение проекции элемента x на подпространство L и показать, каким образом она может быть найдена, если известен ортонормированный базис подпространства L.

Линейные операторы

29. Дать определение оператора и линейного оператора. Показать, что область значений любого линейного оператора — подпространство линейного пространства.

30. Показать, что действующие в линейном пространстве непрерывных на отрезке [a,b] функций операторы дифференцирования и интегрирования, являются линейными операторами.

31. Дать определение матрицы линейного оператора. Доказать теорему о матрице.

32. Дать определение суммы и произведения линейных операторов и доказать теорему о свойстве их матриц.

33. Дать определение обратного оператора. Доказать, что для линейного оператора обратный к нему оператор также является линейным, а оператор обратный к обратному совпадает с самим исходным оператором.

34. Доказать, что для существования оператора, обратного к линейному оператору A:E->E', необходимо, чтобы размерность пространства E совпадала с размерностью области значений этого оператора.

35. Доказать, что для существования оператора, обратного к линейному оператору A:E->E', необходимо и достаточно, чтобы этот оператор являлся обратимым.

36. Доказать, что матрица обратного оператора совпадает с матрицей, обратной к матрице оператора A.

37. Дать определение ядра линейного оператора. Доказать, что ядра оператора является подпространством.

38. Дать определение изоморфных евклидовых пространств. Доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности являются изоморфными.

39. Доказать, что изоморфизм линейно независимые элементы евклидова пространства отображает в линейно независимые элементы.

-----------------------------------------------------------------------------

40. Дать определение определителя оператора и характеристического многочлена оператора.

41. Дать определение собственного элемента и собственного значения линейного оператора. Доказать, что если - собственные элементы линейного оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению , то любой ненулевой элемент, принадлежащий их линейной оболочке, также является собственным элементом, соответствующие тому же собственному значению .

42. Доказать, что для того, чтобы число являлось собственным значением некоторого линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно являлось корнем характеристического уравнения для этого оператора.

43. (на 5) Показать, что 1) линейный оператор, действующий в n- мерном линейном пространстве не может иметь более n различных собственных значений, 2) любой линейный оператор, действующий в линейном пространстве над полем С, имеет хотя бы одно собственное значение.

44. Доказать, что собственные элементы линейного оператора, соответствующие его различным собственным значениям, являются линейно независимыми.

45. Дать определение инвариантного подпространства линейного оператора и доказать (на 5), что у оператора, действующего в унитарном пространстве, в любом инвариантном подпространстве существует собственный элемент.

46. Дать определение собственного подпространства линейного оператора и доказать, что оно является подпространством евклидова пространства.

47. Дать определение сопряженного оператора.

48. Доказать, что если равенство (x,y)=(x,z) имеет место для любых элементов x евклидова пространства, то y=z.

49. (на 4) Доказать, что любого линейного оператора сопряженный к нему оператор также является линейным.

50. (на 4) Показать, каким образом связаны между собой матрицы линейного оператора и сопряженного к нему оператора.

51. Сформулировать и доказать (на 5) свойства сопряженных операторов.

52. Сформулировать и доказать простейшие свойства самосопряженных операторов.

53. (на 5) Доказать, что существует базис евклидова пространства из собственных элементов самосопряженного оператора.

54. Доказать, что в базисе евклидова пространства из собственных элементов самосопряженного оператора матрица этого оператора является диагональной.

55. Найти результат действия операторов A и f(A) на любой элемент евклидова пространства, представленный в виде линейной комбинации собственных элементов оператора A.

56. Дать определение проектора, перечислить и доказать (на 5) его свойства.

57. Перечислить и доказать (на 5) свойства проекторов на собственные подпространства самосопряженного оператора.

58. Доказать, что сумма всех проекторов на собственные подпространства самосопряженного оператора совпадает с единичным оператором. Доказать теорему о спектральном разложении самосопряженного оператора.

59. (на 4) Доказать теорему о спектральном разложении функции f(A) от самосопряженного оператора A и оператора, обратного к оператору f(A)..

60. Дать определение оператора резольвенты и доказать теорему о его существовании.

61. Дать определение редуцированного оператора резольвенты и доказать (на 5) теорему о его спектральном разложении.

62. Сформулировать и доказать (на 4) теорему Фредгольма о решениях уравнения (A-λI)x=y.

63. Унитарные операторы и их свойства.

64. Унитарно эквивалентные операторы и их свойства.

65. (на 5) Основная идея теории возмущений. Уравнения для поправок.

66. (на 5) Вычисление собственных элементов и собственных значений методом теории возмущений.

67. Линейные формы. Их представление с в виде скалярного произведения.

68. Полуторалинейные и билинейные формы. Их представление с в виде скалярного произведения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: