ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Определители 2-го и 3-го порядков.Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (1). Умножим первое уравнение на число , второе уравнение - на и сложим получившиеся уравнения. В результате получим уравнение . Теперь умножим первое уравнение на число , а второе - на и сложим получившиеся равенства. В результате получим: . Если число , то из получившихся равенств следует, что . Если эти выражения подставить в систему (1), то получим верные равенства. Рассмотрим выражения в числителях и в знаменателе полученных дробей. Матрицу называют матрицей системы (1). Выражение, стоящее в знаменателях дробей, вычисляется по правилу: от произведения диагональных элементов матрицы вычитается произведение её внедиагональных. В случае квадратной матрицы второго порядка совокупность внедиагональных элементов называют побочной диагональю. Это число называют определителем матрицы и обозначают так: или так: . Этот определитель называют определителем данной системы. Теперь заменим первый столбец матрицы столбцом , который называют столбцом свободных членов. В результате получим матрицу . Подсчитаем по данному выше правилу определитель матрицы : . Таким образом, если , то . Теперь заменим второй столбец матрицы столбцом . В результате получим матрицу . Подсчитаем по данному выше правилу определитель матрицы : . Таким образом, если , то . Обозначим .Итак, если определитель данной системы отличен от нуля, то решение системы (1) находится по формулам: , которые называются формулами Крамера.
Определитель второго порядка – это число, которое ставится в соответствие квадратной матрице второго порядка и которое вычисляют по указанному выше правилу: от произведения элементов главной диагонали вычитают произведение элементов побочной диагонали. Схематически это можно изобразить так:
На этой схеме элементы матрицы схематически изображены точками.
Рассмотрим теперь систему из трёх линейных алгебраических уравнений от трёх неизвестных (2).
Умножим первое уравнение на число , второе - на , а третье – на и сложим получившиеся уравнения. В результате получим уравнение . Теперь умножим первое уравнение на число , второе уравнение - на , а третье – на и сложим получившиеся уравнения. В результате получим уравнение . Теперь умножим первое уравнение на число , второе уравнение - на , а третье – на и сложим получившиеся уравнения. В результате получим уравнение . Все четыре получившиеся выражения получаются из соответствующих матриц третьего порядка по одному и тому же правилу. Изобразим это правило схематически так: На этой схеме элементы матрицы схематически изображены точками.
Матрицу называют матрицей системы (2). Определителем матрицы называют число . Это же число называют определителем системы (2). Обозначим его так: . Обозначим теперь через матрицы, которые получаются из матрицы в результате замены первого, второго и третьего столбцов соответственно столбцом свободных членов, т.е. столбцом , а их определители через и соответственно. Тогда и ; ; .
Если определитель матрицы , т.е. определитель системы (2) не равен нулю, то решение этой системы находится по формулам:
, которые называются формулами Крамера. Подобные формулы существуют и для систем из линейных алгебраических уравнений от неизвестных.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|