Теоретические сведения

Система векторов евклидового пространства называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой. Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. Если ортогональная система состоит из ненулевых векторов, то ее можно нормировать путем деления элементов вектора на его модуль. Нулевой вектор не нормируется и не добавляется в ортонормированную систему. Нормированная ортогональная система называется ортонормированной.

Процесс Грамма ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор линейно выражается через , то есть матрица перехода от к ― верхнетреугольная матрица. При этом можно добиться того, чтобы система была ортонормированной и чтобы диагональные элементы матрицы перехода были положительны; этими условиями система и матрица перехода определяются однозначно.

Алгоритм

Полагают , и, если уже построены векторы , то

Геометрический смысл описанного процесса состоит в том, что на каждом шаге вектор является перпендикуляром, восстановленным к линейной оболочке векторов до конца вектора .

Нормируя полученные векторы ,

получают искомую ортонормированную систему .

Для иллюстрации выполнения алгоритма выполним ортогонализацию следующей системы векторов:

a1 = {1, 2, 2, -1}

a2 = {1, 1, -5, 3}

a3 = {3, 2, 8, -7}

В качесиве b1 возьмем a1; b1 = a1 = {1, 2, 2, -1}

Далее вычисляем <b1*b1> = 1+4+4+1 = 10

Далее положим такое b2 = a2 - <a2*b1>/<b1*b1> * b1 =

{1, 1, -5, 3} – (1+2-10-3)/10*{1, 2, 2, -1} =

{1, 1, -5, 3} + 10/10*{1, 2, 2, -1} = {2, 3, -3, 2}

Аналогично, b3 = a3 - <a3*b2>/<b2*b2> - <a3*b1>/<b1*b1>*b1 =

{3, 2, 8, -7} + {2, 3, -3, 2} – {3, 6, 6, -3} = {2, -1, -1, -2},

здесь <a3*b2> = 6+6-24-14 = -26, <b2*b2> = 4+9+9+4 = 26

и <a3*b1> = 3+4+16+7 = 30

В результате получили ортогональную систему векторов:

b1 = {1, 2, 2, -1}

b2 = {2, 3, -3, 2}

b3 = {2, -1, -1, -2}

Для проверки факта ортогональности убедимся, что все попарные скалярные произведения векторов равны нулю:

<b1*b2> = 2+6-6-2 = 0

<b1*b3> = 2-2-2+2 = 0

<b2*b3> = 4-3+3-42 = 0

Для нормирования полученной системы получаем следующие величины:

|b1| = sqrt(1+4+4+1) = sqrt(10)

|b2| = sqrt(4+9+9+4) = sqrt(26)

|b3| = sqrt(4+1+1+4) = sqrt(10)

Окончательно получим ортонормированную систему векторов:

c1 = sqrt(10) * {1/10, 1/5, 1/5, -1/10}

c2 = sqrt(26) * {1/13, 3/26, -3/26, 1/13}

c3 = sqrt(10) * {1/5, -1/10, -1/10, -1/5}

Задание варианта

Вариант 1. Исходная система векторов

a1 = {1, 3, 1, 1, 3}

a2 = {0, 3, 0, 2, 1}

a3 = {3, 2, 2, 1, 1}

a4 = {1, 1, 3, 2, 2}

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: