ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства.Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
КУРС ЛЕКЦИЙ По дисциплине «Высшая математика» 1 семестр Для студентов заочной формы обучения Раздел №1 «Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической геометрии» Волгодонск Линейные (векторные) пространства. Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством, если на нем введены две операции: 1) сложение: для любых х, у Є L сумма (х + у) Є L, 2) умножение на число: для любого х Є L и любого числа λ произведение λх Є L, которые удовлетворяют 8 аксиомам: 1) х + у = у + х, где х,у Є L; 2) (х + у)+z = x+(у + z), где х,у,z Є L; 3) существует нулевой элемент Ө такой, что Ө + х = х, где х Є L; 4) для любого х Є L существует единственный противоположный элемент (–х) такой, что х + (-х)= Ө; 5) 1·х = х, где х Є L; 6) α(βх) = (αβ)х, где х Є L, α и β- числа; 7) α(х + у) = αх + αу, где х,у Є L, α- число; 8) (α + β) х = αх + βх, где х Є L, α и β- числа. Замечание: Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами. Примеры: Множество действительных чисел является линейным пространством. Множества всех векторов на плоскости и в пространстве являются линейным пространством. Множество всех матриц одного размера является линейным пространством. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Дана в линейном пространстве система векторов а1, а2, а3, … аn Є L. Определение: Вектор α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn Є L, где αi (i = 1,…,n) - числа, называется линейной комбинацией (ЛК) векторов а1, а2, а3, … аn. Определение: Система векторов линейного пространства а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно независимой (ЛНЗ), если линейная комбинация α1 а1+ α2 а2+α3 а3+…+ αn аn=0 тогда и только тогда, когда коэффициенты α 1 =α 2 =α 3 =…=α n=0. Определение: Система векторов а1, а2, а3, … аn Є L называется линейно зависимой (ЛЗ), если существует набор чисел α1, α2 ,α3 … αn , не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α1 а1+ α2 а2+…+ αn аn= 0. Примеры: Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой. 1) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ =0 .
а1 α1 а1 Два ненулевых, не коллинеарных вектора на плоскости линейно независимы. 2) Рассмотрим два ненулевых, коллинеарных вектора а1 ║а2.
Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|