ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Свойства сходящихся последовательностей.
1. Единственность. Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Арифметические действия. Теорема: Если последовательности {xn} и {yn} сходящиеся, причем и , тогда ; ; при условии .
3. Необходимое условие сходимости. Теорема Больцано-Вейерштрасса: Сходящаяся последовательность ограничена. Док-во: Пусть последовательность {хn} сходится Þ существует конечный предел Þ по определению: для "e > 0 $ номер N, начиная с которого . Из неравенства: . Выберем С=max { }. Значит, для членов последовательности {xn} выполняется неравенство . Тогда по определению последовательность {xn} ограничена. Ч.т.д.
4. Достаточные условия существования предела. Определение: Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей), если x1<x2<… (x1£x2£…). Пример: 1<2<3<4<…, {xn} – возрастает. 1£1<2£2<3£3…, {xn} - неубывающая. Определение: Последовательность {xn} называется убывающей (невозрастающей), если x1>x2>… (x1³x2³…). Пример: 1>1/2>1/4>…, {xn} – убывающая. 1³1/2³1/2>1/3³1/3>…, {xn} - невозрастает. Теорема1: Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел. Теорема2: Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел. Док-во: Докажем теорему 1. {xn} возрастет Þ x1<x2<…. {xn} ограничена сверху Þ существует число М такое, что при "n xn М. Отступим от М на e, тогда существует номер N, начиная с которого М-e< xn М. xn М
М-e
0 1 2 3 4 n Усилим правую часть неравенства: М-e< xn<М+e, т.е. . Значит, для "e > 0 $ номер N, начиная с которого справедливо . Þ . Þ по определению: {xn} сходится. Теорема 2 доказывается аналогично. Ч.т.д. Предел функции.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки. 1) Определение предела функции на языке : Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдется число d(e)>0 такое, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<d, следует неравенство |f(x)-A|<e. Þ "e>0 $d>0: из |x-a|<d Þ |f(x)-А|<e.
A
Интервал (a-d, a+d) на оси ОХ называется дельта-окрестностью точки a. Интервал (A-e, A+e) на оси ОY называется эпсилон-окрестностью точки A. Функция y=f(x) переводит каждую точку из d-окрестности точки a на оси ОХ внутрь ε-окресности точки А на оси ОY. 2) Определение предела на языке окрестности: Число A называется пределом функции при x®a, если для любой сколь угодно малой e-окрестности точки A на оси ОY найдется d-окрестность точки a на оси ОХ, которую функция переводит в e-окрестность. 3) Определение предела на языке последовательности: Число A называется пределом функции f(x) при x®a, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к точке a, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к A. 4) Правый и левый пределы. Определение: Если есть xn®a и xn<a, то число A называется левым пределом функции при x®a-0. . Определение: Если xn®a и xn>a, то число A называют правым пределом функции при x®a+0. . Такие пределы называются односторонние. Замечание 1: Для существования предела функции не требуется, чтобы функция была определена в самой точке x=a, достаточно того, что она определена в ее окрестности. Замечание 2: На последовательность {xn} можно смотреть как на функцию натурального аргумента xn=f(n), nÎN. Поэтому все свойства пределов и теоремы для пределов функции справедливы и для предела последовательности. Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|