Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Q – сила полезного сопротивления. 3 страница




Кинетическая энергия механизма равна сумме кинетических энергий его звеньев. Для кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.20) имеем

Eмех = Е1 + Е2 + Е3,

где E1 = I10 ω2/2, E3 = m3 Vc2/2,

E2 = m2 VS2/2 + I2Sω22/2.

В качестве звена приведения можно выбрать ползун или кривошип. Приведенной массой называется такая условная масса звена приведения, при которой его кинетическая энергия равна кинетической энергии всего механизма.

Рис 3.20.Рычажный механизм и его динамические модели

Емех = Епр = mпр V2/2, откуда следует

Mпр = 2 Емех/V2 ,

где V – скорость звена приведения.

Приведенным моментом инерции звена приведения, при котором его кинетическая энергия равна кинетической энергии механизма.

Емех = Епр = Iпр ω2/2, откуда следует

Iпр = 2 Емех / ω2, где ω – скорость звена приведения.

Приведенной силой Рпр называется такая условная сила, приложенная к звену приведения, работа которой на возможном перемещении равна сумме работ всех сил, приложенных к механизму, на их возможных перемещениях. По этому определению приведенная сила совпадает с обобщенной силой по Лагранжу. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты: [Q] = [A] [q]. Если обобщенная координата q измеряется в радианах, размерность обобщенной силы в Н·м и, следовательно, обобщенная сила выступает в виде приведенного момента Мпр. Эквивалентные динамические модели кривошипно-ползунного механизма представлены на рис. 3.17, для вращающегося звена приведения

Iпр = 2 (Ic ω12 / 2 + Is ω2 / 2 + m2 Vs2 + m3 VB2) / ω12. (3.9)

Из анализа формулы (3.9) следует, что Ιпр не зависит от скорости звена приведения, но зависит от обобщенной координаты.

Для зубчатого механизма (рис. 3.21) Ιпр является величиной постоянной:

Ιпр = 2 (Ι1 ω12 / 2 + І2 ω22/ 2+ І3 ω32/ 2 + I4 ω42 /2) / ω12.

Динамическое исследование механизмов, у которых Іпр = const, производится значительно проще.

Рис 3.21.Зубчатый механизм.

 

3.21.Уравнение движения машины в дифференциальной форме

Для вывода уравнения движения машины воспользуемся уравнением Лагранжа 2-го рода:

d /dt (ðE / ðq¢) - ðE/ðq = Q, (3.10)

где q и q¢ - обобщенная координата и обобщенная скорость; E - кинетическая энергия; Q - обобщенная сила.

Применим это уравнение к динамической модели на рис. 3.17. Тогда q = φ, q¢ = ω, Q = Mпр, E = Iпрω2 / 2, Iпр = f (φ).

Определим элементы уравнения (3.10):

ðE / ðφ = ω2 (ðIпр / ðφ) / 2;

ðE / ðω = Iпр ω.

Примем во внимание, что Iпр и ω изменяются во времени, тогда

d/dt (ðE/ðω) = ω(dIпр/dt) + Iпр (dω/dt) = ω2 (dIпр/dφ) + Iпр ε.

Подставим полученные результаты в уравнение (3.10). Получим уравнение движения механизма в дифференциальной форме:

 

Iпр e + w2 (d Iпр / d j) / 2 = Mпр . (3.11)

 

Это нелинейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Решение дифференциального уравнения – это отыскание первообразной функции. Способ решения зависит от вида Mпр и Іпр. Встречаются следующие случаи:

1. Iпр = const, Mпр = const;

2. Iпр = const, M = M (φ) или M (ω) или M (t);

3. I = I (φ), M = M (φ);

4. I = const, M = M (ω, φ);

5. I = I (φ), M = M (ω, φ).

В первых двух случаях уравнение движения может быть проинтегрировано в конечном виде. Иногда можно воспользоваться готовым решением, взятым из справочника. Любое дифференциальное уравнение можно решить численным методом.

 

3.22. Пример динамического исследования колодочного тормоза.

 

Рассмотрим простейший случай, когда Iпр = const, Mпр = const, на примере колодочного тормоза, который состоит из диска и рычага с тормозной колодкой (рис. 3.22). Диск, вращающийся с угловой скоростью ω, затормаживается силой трения, возникающей при приложении к рычагу силы Р. Требуется установить время и число оборотов до полной остановки диска.

Пусть Iпр = 0.4 кгм2, Р = 20 Н, f = 0.2, R = 0.1 м, ω = 100 рад/с.

К диску приложен тормозной момент

Mтр = Fтр R = f N R = f 2 P R = 0.8 Н м

Рис 3.22. Колодочный тормоз.

С учетом того, что Iпр = const, уравнение (3.11) запишется так:

Iпр ε = М пр, где Мпр = - Мтр

Здесь ε = const, имеет место равноускоренное движение. Перепишем уравнение, разделив переменные и проинтегрировав. Опуская элементарные преобразования, в итоге получим уравнение

ω = -(Мпр / Iпр) t + C1, (3.12)

где С1 - постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий: при t = 0, ω = ω0, тогда С1 = ω0 .

После интегрирования уравнения (3.12) получим

φ = -(Мпр / Iпр) t2 / 2 + ω0 t + C2, (3.13)

где С2 - постоянная интегрирования, которая находится из начальных условий:

при t = 0 φ0 = 0, тогда С2 = φ0.

Из уравнения (3.13) можно определить время до полной остановки:

0 = - (0.8/ 0.4) t + 100 → t = 50 c.

Из уравнения (3.13) находится угол поворота диска до полной остановки:

φ = - (0.8 / 0.4) 502 /2 + 100 50 = 2500 рад = 398 об.

 

3.23. Численное решение дифференциального уравнения.

 

Полученные выше формулы (3.12) и (3.13) лежат в основе численных методов решения дифференциальных уравнений. Сущность простейшего из них состоит в следующем. Весь период движения разбивается на столь малые интервалы времени, что Iпр и Мпр не успевают существенно измениться. Тогда будут справедливы формулы (3.12) и (3.13) для равноускоренного движения.

По ним вычисляются значения обобщенной координаты и обобщенной скорости в конце интервала и устанавливаются истинные значения Iпр и Мпр. Полученные значения являются исходными для отсчета движения на следующем интервале и так далее. С помощью усовершенствованных методов (например, метода Рунге –Кутта) можно добиться практически любой точности расчета. В связи с большим объемом вычислений для решения дифференциальных уравнений используются ЭВМ. В библиотеках ЭВМ имеются стандартные программы для решения дифференциальных уравнений, так что задача программирования сводится только к записи уравнения и задания начальных условий, а также указанию требуемой точности расчета или шага интегрирования.

 

3.24. Периоды работы машины

 

Уравнение движения машины (3.11) можно представить в более простой и удобной для качественного анализа форме – в форме кинетической энергии. Преобразуем угловое ускорение

ε = dω/dt = ω dω/dt ω = d(ω2)/2 dt ω =d (ω2/2) dt/(dt dφ)= d(ω2/2)/dφ

Подставим полученное выражение в уравнение (3.11):

Iпр = d (ω2 /2)/dφ + ω2d Iпр/2 dφ = d Iпр ω2 / 2 dφ = Mпр

откуда

dE = Mпр dφ. (3.14)

Уравнение (3.14) выражает теорему об изменении кинетической энергии: приращение кинетической энергии системы равно работе внешних сил. Уравнение (3.14) эквивалентно следующему:

Ap - Aq - AF + AG = E2 - E1, (3.15)

где АР - работа движущих сил; AQ - работа сил полезных сопротивлений; AF - работа сил трения; AG - работа сил тяжести (для механизма, работающего в циклическом режиме AG = 0); E2 , E1 - кинетическая энергия машины в двух рассматриваемых положениях.

Уравнение (3.15) выражает баланс энергии и работы в машине: если работа движущих сил превышает работу сил трения и полезного сопротивления, кинетическая энергия возрастает, машина разгоняется, если работа движущих сил меньше работы сил сопротивления, движение происходит за счет расхода накопленной кинетической энергии.

При работе машины следует различать три периода.

Период пуска характеризуется тем, что AQ = 0 E1 = 0. Тогда

AP - AF = E2 , Ap = AF + E2 .

Работа движущей силы при пуске расходуется на преодоление трения и разгон машины. Чем меньше AF, тем быстрее происходит разгон.

Для периода установившегося движения E2=E1, тогда

AP - AQ - AF = 0, AP = AQ + AF .

Работа движущей силы при установившемся движении расходуется на полезную работу и работу сил трения. Разделим последнее уравнение на AP:

1 = AQ/AP + AF/AP = h + y,

где h - коэффициент полезного действия (к.п.д.); y - коэффициент потерь.

Определенный таким образом к.п.д. носит название циклового к.п.д.

Мгновенный к.п.д. определяется как отношение мощности сил полезного сопротивления к мощности движущей силы, определенной с учетом сил трения, но без учета сил инерции.

К.п.д. характеризует совершенство механизма с точки зрения экономного расходования энергии. Работа сил трения превращается в тепловую энергию и представляет безвозвратные потери. К.п.д. можно повысить за счет уменьшения потерь на трение.

Третий период работы машины - выбег, для него E2 = 0, AP = 0

- AQ - AF = - E.

В этот период кинетическая энергия расходуется на работу сил полезного сопротивления и работу сил трения. Для того чтобы уменьшить продолжительность выбега, вводят дополнительное торможение.

 

3.25. Регулирование неравномерности хода машины

 

Три периода движения машины, отнесенные к главному валу машины, представлены графически на рис.3.23. В течение цикла угловая скорость главного вала достигает максимального и минимального значения, оставаясь вблизи некоторого среднего значения wср.

 

wср = (wmax + wmin) / 2. (3.16)

 

Степень отклонения скорости от среднего значения характеризуется коэффициентом неравномерности хода машины:

 

d = (wmax - wmin) / wср. (3.17)

 

Из формул (3.16) и (3.17) следует:

 

(1 + 0.5 d) wср = wmax;

(1 – 0.5 d) wср = wmin .

Рис. 3.23. График угловой скорости главного вала машины

Коэффициент неравномерности для различных классов машин колеблется в широких пределах. Экспериментально установлены следующие значения d:

электрические генераторы - 1/ 300 – 1 / 150;

двигатели внутреннего сгорания –1 / 80 – 1 / 150;

металлорежущие станки - 1 / 20 – 1 / 50;

сельхозмашины - 1 / 10 – 1 / 50;

прессы, ножницы - 1 / 5 – 1 / 20.

Неравномерность хода машины можно уменьшить с помощью маховика. Маховиком называется звено в форме диска или обода со спицами, обладающее большим моментом инерции.

Рассмотрим периоды движения, когда скорость машины изменяется от wmax до wmin. Запишем уравнение (3.15) в виде

 

Аизб = Еmax – Emin,

 

где Аизб = АР – АQ – AF.

При наличии маховика около 90% всей кинетической энергии машины сосредоточено в нем. Тогда

 

Аизб = IM w2max / 2 – IM w2min / 2 =

IM (wmax + wmin) (wmax - wmin ) / 2=IM w2ср d, (3.18) откуда

d = Аизб / w2cр IM. (3.19)

Из анализа формулы (3.19) следует, что с увеличением момента инерции маховика коэффициент неравномерности хода машины уменьшается. Задаваясь допустимой неравномерностью хода, найдем требуемый момент инерции маховика. Предварительно нужно определить избыточную работу за период, когда угловая скорость кривошипа изменяется от максимума до минимума.

Момент инерции маховика связан с его массой и размерами зависимостью IM = m R2ср, где Rср - средний радиус обода маховика. Обычно задаются радиусом Rср, исходя из допустимой по условию прочности обода скорости внешних точек обода маховика: Vmax ≤ 70 –120 м/с для стальных маховиков; Vmax ≤ 45 – 90 м / с для чугунных маховиков. Для увеличения прочности маховики в последнее время стали делать намотанными из проволоки или стальной ленты.

Размеры маховика зависят от места его установки, поэтому стремятся его устанавливать на быстроходном валу машины.

В некоторых случаях маховики используются как аккумуляторы энергии. Такое применение они находят, например, в маховичных двигателях, гировозах, прессах и т.д.

3.26. Автоматические регуляторы скорости.

 

Назначение автоматических регуляторов - поддержание скорости машины в заданных пределах при периодическом или случайном изменении нагрузки. Некоторые машины, например асинхронные электродвигатели, обладают свойством саморегулирования. Турбины, двигатели внутреннего сгорания этим свойством не обладают и при уменьшении нагрузки могут пойти в разнос. Чтобы этого не произошло, они снабжаются автоматическими регуляторами.

На рис.3.24 представлена схема центробежного регулятора прямого действия. При увеличении угловой скорости вала регулятора его ползун перемещается вверх. Связанная с ним дроссельная заслонка перекрывает трубопровод с паром или топливной смесью, что ведет к снижению скорости машины. Если угловая скорость вала регулятора уменьшается, дроссельная заслонка увеличивает проходное сечение, что ведет к возрастанию скорости машины.

Вследствие инерционности регулятора возникает колебательный процесс. В правильно спроектированном регуляторе он быстро затухает (рис.3.25,а). Это качество системы регулирования называется устойчивостью. Если система неустойчива, амплитуда колебаний возрастает до бесконечности (рис.3.25,б).

Рис. 3.24. Центробежный регулятор Уатта

Из рассмотрения условия статического равновесия регулятора (рис.3.25,в) следует, что в положении, определенном обобщенной координатой φ, на груз действует горизонтальная сила Р. Зависимость силы Р от радиуса центра груза представляет статическую характеристику регулятора. Эта характеристика определяется экспериментально.

Рис.3.25. Характеристки центробежного регулятора

При вращении грузов возникает сила инерции U. Сила инерции линейно зависит от радиуса (U = m ω2 r) и ее график – прямая линия. Точка пересечения графика силы инерции и характеристики регулятора определяет радиус центра грузов в положении равновесия.

Пусть характеристика имеет вид кривой «а» (рис.3.25, г) и регулятор находится в равновесном состоянии при угловой скорости ω1. По каким-то случайным причинам радиус r получил положительное приращение ∆ r. В новом положении а1 сила Р больше силы U, следовательно, грузы переместятся в направлении силы Р, т.е. к точке а. Если радиус получил отрицательное приращение (- ∆ r), то в положении а2 сила инерции U больше силы Р – грузы переместятся в направлении силы U, т.е. снова к точке а.

Таким образом, установлено, что характеристика «а» устойчивая. Из аналогичных рассуждений следует, что характеристика «б» неустойчивая.

Характеристики реальных регуляторов состоят из участков устойчивости и неустойчивости. Поэтому используется не вся характеристика, а только ее устойчивая часть. Для этого регулятор снабжают ограничительными упорами.

Помимо статической устойчивости следует рассмотреть и динамическую устойчивость. Для этого нужно исследовать соответствующее дифференциальное уравнение на устойчивость. Эта сложная с математической стороны задача изучается в специальном курсе теории автоматического регулирования.

 

3.27. Одномассовая упругая модель механизма

Более точно свойства механической системы описываются с помощью динамической модели, учитывающей упругость звеньев. Исследование упругих свойств механизма следует начинать с изучения простейшей одномассовой динамической модели. К такой модели, в частности, сводится динамическая система силового модуля. Динамическую модель механизма можно рассматривать как совокупность таких одномассовых моделей.

Динамическая модель колебательной системы с одной степенью свободы представлена на рис.3.26,a. Этот случай возможен, если деформации подчинены закону Гука (F = cq), а сила трения пропорциональна скорости (Ф = k q′).

Физическая природа механических колебаний связана с упругоинерционными свойствами твердых тел. При выведении системы из равновесного состояния возникает упругая сила, стремящаяся возвратить исходное состояние. Под действием этой силы тело начинает двигаться к положению равновесия, но по причине инерционности "проскакивает" его и движется дальше. При этом знак упругой силы меняется, тело постепенно останавливается, а затем, двигаясь в направлении равновесия, снова "проскакивает" его и т.д. Этим свойством обладают не только твердые тела, но и системы с кинематическими связями, т.е. механизмы и машины.

Математической моделью динамической системы служит дифференциальное уравнение. Линейным колебательным системам соответствуют линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение движения массы т (рис.3.26,a) получается из уравнения Ньютона:

 

mq″ + kq′ + cq = F(t).

 

Обычно его представляют в виде

 

q″ + 2 β q′ + ω2 q = k x(t), (3.20)

где β - коэффициент демпфирования β = k/2m; ω - собственная частота при отсутствии демпфирования; k- передаточный коэффициент; q -обобщенная координата (выходная величина); x(t ) - некоторая функция времени (входная величина).

При свободных колебаниях и отсутствии вязкого трения уравнение (3.20) принимает вид

 

q″ + ω2 q = 0.

 

Его решением служит функция

 

где q и q0 - начальные условия при t = 0.

Таким образом, движение представляется суммой двух гармонических колебаний с амплитудами q0 и q0 / ω и одинаковой частотой ω. Его можно представить одним гармоническим движением:

q = A cos (ωt + φ),

где

, φ = arctg (q0′ / (ωq0)).

При свободных колебаниях с демпфированием уравнение (3.20) имеет вид

.

Его решением служит функция

где - собственная частота с учетом демпфирования, при малом демпфировании .

Рис. 3.26. Динамическая модель колебательной системы с одной степенью свободы (а), колебательный процесс с одной степенью свободы (б)

В выражении (3.21) амплитуда колебаний представляет убывающую экспоненциальную функцию, что указывает на затухание свободных колебаний с течением времени. Быстрота затухания зависит от коэффициента демпфирования . При большом демпфировании движение превращается в быстро затухающий апериодический процесс (рис.3.26). По периоду колебания Т и амплитудам и можно вычислить логарифмический декремент затухания , а затем коэффициент демпфирования .

Рассмотрим случай колебаний без демпфирования с гармоническим возбуждением. Тогда уравнение движения представится в виде

 

 

а его решение функций

 

Первые два слагаемые описывают свободные колебания с частотой ω. При наличии хотя бы малого демпфирования они постепенно затухают. Третье слагаемое характеризует установившийся режим вынужденных колебаний, которые происходят по гармоническому закону с частотой, равной частоте возбуждения, и амплитудой

Амплитуда А увеличивается по мере приближения частоты возбуждения к собственной частоте . Когда , наступает резонанс. Однако в связи с присутствием демпфирующего элемента амплитуда не достигает бесконечно большого значения.

Коэффициентом динамичности называется отношение амплитуды вынужденных колебаний к максимальному перемещению, вызываемому статическим действием силы. Из уравнения (3.22) следует, что при статическом приложении силы . Следовательно, отношение амплитуд

 

На рис.3.27 показано изменение абсолютного значения коэффициента динамичности в зависимости от отношения . При малых значениях , т.е. в случае, когда частота возмущающей силы мала по сравнению с частотой свободных колебаний, коэффициент динамичности близок к единице и перемещения такие же, как при статическом действии силы. Коэффициент динамичности возрастает при приближении к резонансу. В случае перехода через резонанс коэффициент динамичности уменьшается и при соотношении вновь становится равным единице. При дальнейшем увеличении частоты p он уменьшается, приближаясь к нулю. Это означает, что если возбуждение происходит с высокой частотой по отношению к собственной частоте, то колебания малы и тело можно считать неподвижным.

Динамическая система силового модуля состоит из ротора двигателя, редуктора, соединительного вала, исполнительного звена. Предположим, что упругие и демпфирующие свойства системы сосредоточены в соединительном звене.

Это двухмассовая динамическая система, соединенная упругим валом (рис. 3.28), характеризуется системой уравнений:

 

 

где - момент инерции двигателя и редуктора, приведенный к выходу редуктора; - угол поворота выходного вала редуктора: ; -коэффициент вязкого трения; - угол поворота исполнительного звена; - коэффициент жесткости упругого вала; - момент, развиваемый двигателем, приведенный к выходу редуктора: ; - момент инерции исполнительного звена; - момент внешних сил, приложенных к исполнительному звену.

Введем новую переменную: .

Кроме того, предположим, что у двигателя жесткая характеристика и его ротор вращается с постоянной угловой скоростью. Тогда и второе уравнение (3.23) имеет

Это уравнение можно было бы получить сразу, если рассматривать ротор двигателя заторможенным, а за принять координату, определяющую малые перемещения исполнительного органа относительно положения равновесия.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных