Нахождение ускорения при естественном способе задания движения.

Рассмотрим пространственную кривую. Из дифференциальной геометрии известно, что через любую точку пространственной кривой можно провести касательную (I), нормальную (II) и спрямляющую (III) плоскости (рис. 9.21). На линиях пересечения этих плоскостей определяют единичные вектора касательной , главной нормали и бинормали , которые образуют правую систему осей как показано на рис. 9.21. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , и являются единичными векторами осей естественного трехгранника.

Обозначим через величину угла между вектором , проведенным в точке , и вектором , проведённым в точке , близкой к точке . Этот угол называется углом смежности (рис. 9.22).

Кривизной кривой в точке называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги , т. е. .

Радиусом кривизны кривой в точке называется величина, обратная кривизне . Так кривизна прямой равна нулю, а её радиус кривизны равен бесконечности. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса . Радиус кривизны равен радиусу окружности .

Учитывая представление вектора скорости (9.20) , на основании определения ускорения (9.21), имеем

.

Найдем производную вектора :

.

Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 9.22) и лежит в плоскости, проходящей через точку и векторы и (плоскость ). Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, так как при () плоскость совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке .

Дифференцируя тождество по , получим . То есть скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, этот вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен . Следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль этого вектора. Из равнобедренного треугольника (рис. 9.22) . Тогда

.

Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь . Значит, и, следовательно, , так как .

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.

Составляющие ускорения по направлениям и соответственно равны

,

и называются касательным (тангенциальным) ускорением и нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

Модуль вектора ускорения равен .

Если и одного знака, то модуль скорости точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же и разных знаков, то модуль скорости точки убывает и движение будет замедленным. При модуль скорости остается постоянным - движение равномерное.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: