Билет 47. Общий вид скалярного произведения в конечномерном евклидовом и унитарном пространствах.

Отображение VxV à R скалярное пространство тогда и только тогда, когда оно является билинейной формой, полярной к положительно определенной квадратичной форме

Необходимость: скалярное произведение является симметричной билинейной формой (аксиомы 1 – 3), а скалярный квадрат (аксиома 4) положительно определенная квадратичная форма.

Достаточность: билинейная форма, полярная к положительно определенной квадратичной форме удовлетворяет аксиомам.

Используя общий вид билинейной формы можно переписать скалярное произведение в виде: (x, y) = ye^TAexe, где Ae – положительно определенная матрица.

Полуторалинейные формы: A: VxV à C,

1) A(x + y, z) = A(x, z) + A(y, z)

2) A(ax, y) = aA(x, y)

3) A(x, y + z) = A(x, y) + A(x, z)

4) A(x, ay) =!aA(x, y)

Полуторалинейную форму называют эрмитовой, если A(y, x) =!A(x, y) для любых векторов

Скалярное произведение в унитарном пространстве является примером эрмитовой полуторалинейной формы. Общий вид A(x, y) = xeTAe!ye, A(x, y) = yHAeTxe, если есть базисы e, f = eQ, Af = QTAe!Q, полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда её матрица в любом базисе эрмитова.

Т Полуторалинейная форма эрмитова тогда и только тогда, когда A(x, x) вещественна для любого вектора (необходимость очевидна из определения эрмитовой формы, достаточность из равенства A(x, y) = ¼ (A(x +y, x+y) – A(x – y, x- y) + iA(x +iy, x+iy) – iA(x – iy, x- iy)).

Эрмитовой квадратичной формой (эрмитовой формой) называется A: V à C, A(x, y) – полярная полуторалинейная форма. Эрмитова форма обладает свойставми:

1)Полуторалинейная форма опеределена однозначно. A(x + y, x + y) = A(x, x) + A(y,y) + A(x, y) +!A(x, y), A(x + iy, x + iy) = A(x, x) + A(y, y) – iA(x, y) + i!A(x, y), в силу того, что A(x, x) вещественно для любого вектора: ½(A(x +y, x+y) – A(x, x) – A(y, y)) = ReA(x, y), ½(A(x + iy, x+iy) – A(x,x) – A(y, y)) = imA(x, y)

2)Матрица эрмитовой квадртатичной формы эрмитова, значит её определитель вещественен, все угловые миноры действительны, все канонические коэффициенты вещественны

3)Общий вид эрмитовой квадратичной формы A(x, x) = Add(i, j = 1 n)aijxi!xj, aij =!aji A(x, x) = xeTAe!xe = xeHAeTxe = xeH!Aexe, AeH = Ae

4)f = eQ, Af = QTAe!Q. Комплексные матрицы называются эрмитово конгруэнтными, если B = QTAe!Q

5)Канонический вид эрмитовой квадратичной формы A(x, x) = Add(k =1, r) lk|xk|^2, r = rgA

6)Метод Лагранжа приведения к каноническому виду применим и для эрмитовой формы, исключение состоит лишь в выделении на каждом шаге полного квадрата модуля, пример первого шага f(x1,….,xn) = a11|x1 + Add(k =2, n)(a1k/a11)xk|^2 + +g(x2,…, xn)

7)Справедливы формулы Якоби

8)Эрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения, по этому для неё будет справедлив закон инерции, сигнатурное правило Якоби, критерий Сильвестра.

Отображение A: VxV à C скалярное произведение тогда и только тогда, когда оно является полуторалинейной формой, полярной к положительно определенной эрмитовой. Это утверждение определяет общий вид скалярного произведения в комплексном пространстве ((x, y) = xeTAe!ye, Ae – положительно определенная матрица).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: