Билет 50. Длина вектора. Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормы.

В евклидовом и унитарном пространствах длиной вектора называют значение корня из его скалярного произведения. Из аксиом скалярного произведения:

1) любой вектор имеет длину

2)коэффициент можно выносить

Неравенство Коши-Буняковского можно переписать в виде |(x,y)| <= |x||y|.

Векторы единичной длины называются нормированными. Любой ненулевой вектор можно нормировать.

Т В евклидовом (унитарном) пространстве для любых векторов имеют место неравенства:

||x|-|y|| <= |x + y| <= |x| + |y| (неравенства треугольника) (|x+y|^2 = (x+y, x+y) = (x,x) + (x, y) + (y, x) + (y, y), с учетом неравенств треугольника для чисел и неравенства Коши-Буняковского |x + y| ^ 2 <= |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2 = (|x| +|y|)^2, |x + y| ^ 2 >= |x|^2 – 2|x||y| + |y|^2).

Тождество |x+y|^2 + |x-y|^2 = 2(|x|^2 + 2|y|^2) – тождество параллелограмма. Углом между векторами называется такой угол от 0 до пи, что cosf = (x, y)/|x||y|.

Множество называется метрическим пространством, если p: M x M à R, каждой упорядоченной паре ставится в соответствие число, такое что

1) p(x, y) >=0, p(x,y) = 0 ó x = y

2) p(x, y) = p(y, x)

3) p(x, z) <= p(x, y) + p(y, z)

Число называется расстояниям, отображение – метрикой, а 1-3 аксиомы метрики. Расстояниями между двумя множествами метрического пространства называется наименьшее расстояние между любыми векторами из этих двух множеств (каждый из своего)

Т В линейном пространстве отображение VxV à R, определенное равенством

р(x, y) = ||x - y|| является метрикой (аксиомы метрики вытекают из аксиом нормы).

Т Метрика р в линейном пространстве (вещественном или комплексном) определяет норму тогда и только тогда, когда для любых x, y, z из V, и a из R (C)

1) р(x, y) = р(x + z, y +z) (инвариантность относительно сдвига)

2) р(ax, ay) = |a|р(x, y) (инвариантность относительно гомометрии)

Доказательство. Необходимость очевидна, достаточность: положим ||x|| = p(x, 0) проверить аксиомы (использовать сдвиг).

Рассмотрим метрическое пространство. Последовательность точек называется сходящейся к точке, если lim<kàinf>p(x(k), a) = 0, последовательность называется фундаментальной, если для сколь угодно маленького положительного числа существует такой номер последовательности, что для любых двух элементов последовательности, с номерами больше выбранного, верно, что расстояние между ними меньше данного положительного числа. Метрическое пространство называется полным если любая фундаментальная последовательность в нем сходится. Понятия отрытого шара, замкнутого шара, сферы, ограниченного множества, замкнутого множества (предел принадлежит множеству), компактного (из любой последовательности можно выделить сходящуюся), оперделение непрерывности вещественной функции. Непрерывность вещественной функции называют непрерывностью относительно нормы, те ||x(k) –a||à0, kàinf, f(x(k)) àf(a).

Норму ||x||2 называют евклидовой. В евклидовом пространстве норма может быть введена как длина (это и есть евклидова норма).

Т В конечномерном пространстве любая норма непрерывна относительно евклидовой (из утверждения теоремы следует, что ||x(k) – a||2 à 0 è ||x(k)|| à||a||, выбираем базис ||x|| <= Add(k =1, n) |xkek|| <= {неравенство Коши-Буняковского} <=

((Add(k =1, n)|xk|^2)^(1/2))(Add(k = 1, n)||ek||^2)^1/2 = c||x||2, с > 0 è ||x|| <= c||x||2 è ||x(k) –a|| <= c||x(k) –a||2 è ||xk – a|| à 0, ||x(k)||à||a||, kàinf

Про евклидову норму говорят, что она порождается скалярным проиведением.

Т Норма в линейном пространстве порождается скалярным произведением тогда и только тогда, когда для неё выполнено равенство ||x + y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2) (необходимость – выполнено тождество параллелограмма для порожденной скалярным произведением длинны, достаточность: построим скалярное произведение: (x, y) = ½(||x + y||^2 - ||x||^2 - ||y||^2), аксиомы 1, 4 – очевидны, покажем аксиому 3 (||x + y + z||^2 - ||x +y||^2 - ||z||^2) = (||x + z||^2 - ||x||^2 - ||z||^2) + (||y + z||^2 - ||y||^2 - ||z||^2) ó ||x + y + z||^2 - ||x + y||^2= вывести, что 2||x + y + z||^2 + 2||z||^2=||x + y||^2 - ||x – y||^2, применим равенство параллелограмма к x + y + 2z, (x + y + z) +z; (x + z) + (y + z); аксиома два для натуральных из аксиомы 3, для 0 из формы, для -1 из формы и параллелограмма, для рационального

(x, y) = ((n/n)x, y) = n (1/nx, y), ((m/n)x, y) = 1/n(mx, y), произвольное число представим как предел последовательности рациональных чисел и из непрерывности нормы следует непрерывность функции (ax, y) поэтому можем переходить к пределу, в комплексном пространстве для нормы порожденной скалярным произведением имеем ||x + y||^2 = (x, x) + (y, y) +!(x, y) + (y, y) = ||x|| + ||y|| + 2Re(x, y), ||x + iy||^2 = (x, x) + i!(x, y) – i(x, y) + (y, y) = =||x||^2 + ||iy||^2 + 2Im(x,y), значит скалярное произведение можно строить по правилу Re(x,y) = (||x + y||^2 - ||x||^2 - ||y||^2)/2; Im(x, y) = (||x + iy||^2 - ||x||^2 - ||y||^2).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: