Билет 52. Задача о наилучшем приближении в конечномерном нормированном пространстве.

L – подпространство метрического пространства, f – фиксированный элемент пространства, то p(f, L) = inf{x из L}p(f, x) называется расстоянием (отклонением) элемента от множества. Если существует такой вектор x0 из L, p(f, L) = p(f, x), то элемент x0 называется элементом наилучшего приближения элемента f на множестве L.

Т Если в нормированном пространстве есть конечномерное подпространство, то для любого вектора пространства существует вектор наилучшего приближения.

Док-во: покажем, что для любого вектора f пространства V, существует вектор x0 из L, такой, что ||f – x0|| = inf{x из L}||f-x||. Рассмотрим разложение произвольного x из L по базису подпространства, распишем разность ||f-x|| = ||f-Add(k=1, n)lkek||. Надо найти такие числа l1, …, ln, так, чтобы u(l1,…,ln)=||f – Add(k =1, n)lkek|| приняла минимум. Функция непрерывна, так как (распосать разность в двух точках, разность норм меньше нормы разности, сумма норм базисных векторов – константа, ввсести ограничение через максимальное смещение). Обозначим нижнюю грань мн-ва значений u(l1,…,ln) = q (расстояние больше нуля – есть ограничение снизу). Рассмотрим функцию

w = ||Add(k =1, n)lkek||, эта функция на единичной евклидовой сфере (Add(k=1,n)|lk|^2) неотрицательна, непрерывна è по теореме Вейерштрасса достигает точной нижней грани, обозначим o (o > 0). Обозначим за R выражение (1/o)(p + 1 +||f||), и рассмотрим все векторы (l1,…,lk) находящиеся от 0-вектора дальше, чем на R ((Add(k=1, n)|lk|^2)^1/2 > R). Норма разности больше разности норм è u(l1,…,ln) >= ||Add(k=1, n)lkek|| - ||f|| = вынесем норму вектора l1,…,ln за первую норму, и получим ограничение снизу

u(l1,…,ln) >= o(Add(k=1, n)|lk|^2) - ||f||> p+1, те среди векторов за пределами сферы, радиуса R нет наименьшего значения, функция непрерывна внутри замкнутого шара – значит по теореме Вейерштрасса достигает своего наименьшего значения.

Замечание: в конечномерном пр-ве наиболее естественно искать проекцию.
Билет 53. Линейный оператор в нормированных пространствах. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного оператора.

Пусть V, W линейные нормированные пространства с нормами

V, |w. Линейный оператор называется непрерывным в точке, если для любой последовательности из первого пространства, сходящейся к данной точке по норме первого пространства, последовательность значений, сходящихся по второй норме во втором пространстве сходятся к значению в точке (||x(k) – x||v à 0 è ||Ax(k) – Ax|| à 0). Линейный оператор называется ограниченным, если существует такая константа c, ||Ax||w <=c||x||v. Т В конечномерных нормированных пространствах любой линейный оператор ограничен ||Ax|| <= Add(i =1, n) |xiAei|| <= (Add(i =1, n) ||Aei||^2)^1/2(Add(i = 1, n)|xi|^2) = M||x||2 (неравенство Коши-Буняковского), а любая норма эквивалентна евклидовой. Следствие: в конечномерных пространствах любой оператор непрерывен (||Ax(k) – Ax||w = =||A(x(k) – x)|| < c||x(k) – x||v). Линейное пространство L(V, W) можно сделать нормированным, введя норму оператора. Норма называется мультипликативной, если ||AB|| <=||A|B|| для любых операторов, для которых определена операция умножения. Свойство называется свойством мультипликативности нормы. Норма называется согласованной, если ||Ax||w <= ||A|x||v. Т Собственное значение оператора не превосходит по абсолютной величине любую его согласованную норму (||Ax|| = l||x||<=||A|x||). Из теоремы об ограниченности оператора следует существование такой константы, что ||Ax||/||x|| <= c, x!= 0 что означает ограниченность сверху множества ||Ax||/||x||. Положим эту точную верхнюю грань за норму (m(A)= sup ||Ax||/||x||) Т Отображение m(A) является мультипликативной, согласованной нормой (проверка на то, что является нормой – элементарно, согласование очевидно, в свойстве мультипликативности используем согласование получим, просто расписав норму произведения и заменяя на большее). Эта норма называется подчиненной. Норму обычно берут как супремум по всем векторам, норма которых 1, те ||A|| = sup{||x||=1}||Ax|| Спектральная норма: норма линейного оператора, порожденная евклидовыми нормами вектора называется спектральной нормой. ||A||2 = sup{||x||E=1}||Ax|| = =sup{(x,x)=1}sqrt((Ax,Ax)). Т Спектральная норма линейного оператора равна максимальному сингулярному числу этого оператора. Пусть n = dimV, m= dimW, e1,…,en – правый сингулярный базис, а p>=…>=ps – сингулярные числа оператора, x = Add(i=1 n)xiei. ps+1=…=pn=0, если s < n. Тогда ||Ax||E2 = (Ax, Ax) = (A*Ax, x) = (Add(i=1 n)pi^2xiei, Add(j =1,n)xjej)=Add(i=1,n)pi^2|xi|^2 <= p1^2Add(i=1, n)|xi|^2 è ||A||2 = p1. Следствие: спектральная норма нормального оператора равна по абсолютной величине максимального по модулю собственного значения этого оператора. Т Сингулярные числа линейного оператора в евклидовом (унитарном) пространстве не изменяются при умножении оператора на ортогональный(унитарный) оператор. Док-во B = UAV, U*U=I, V*V=I è B*B= V*A*AV è матрицы операторов B*B и A*A подобны и их собственные значения совпадают. Следствие: Спектральная норма линейного оператора не изменяется при умножении оператора на ортогональный (унитарный) оператор.   Билет 54. Матричные нормы. Унитарно инвариантные нормы. Пусть есть базисы e1,…,en V f1,…,fm W пространств, в которых действует оператор. Обозначим через ||A||p норму оператора, подчиненную соответствующим векторным нормам |p, A= (aij) – матрица оператора. Т Для любого оператора ||A||1 = max(1<=j<=n)Add(i=1, m)|aij| Распишем Ax = Add(i =1, m)(Add(j =1, n) aijxj)fi, согласно выражению для нормы ||Ax||1 = =Add(i =1 m)|Add(j =1 n)aijxj| <= Add(i=1 m)(Add(j=1 n)|aij||xj|)=Add(j=1, n)|xj|Add(i=1 m)|aij|, пусть k-ый столбец имеет максимальную столбцовую сумму, тогда ||Ax||1 <=||x||1Add(i=1, m)|aik| è ||Ax|| <=Add(i=1 m)|aik| для любого нормированного вектора, а для k-ого базисного вектора выполнено равенство è сумма по наибольшему столбцу и есть норма. Т ||A||inf = max{1<=i<=m}Add(j = 1, n) |aij| (доказательство аналогично предыдущей). Евклидова норма: ||A||E = (Add(i=1, m)Add(j =1, m)|aij|^2)^1/2. Легко проверить аксиомы. Она обладает многими св-вами подчиненных норм. такими как: 1) Свойство согласованности ||Ax||E <= ||A||E||x||E, тк неравенство Коши-Буняковского: ||Ax||E2 = Add(i=1, m)|Add(j=1, n)aijxj|^2<=Add(i=1, m)(Add(j=1, n)|aij|^2Add(j=1,n)|xj|^2) = =Add(j=1, n)|xj|^2||A||E2 = ||A||E2||x||E2. 2) Свойство мультипликативности: ||AB||E2 = Add(i,j)(|Add(k)aikbkj|)^2<=Add(i,j)(Add(k)|aik||bkj|)^2<= <=Add(i, j)(Add(k)|aik|^2Add(k)|bkj|^2) = Add(i,k)|aik|^2Add(j, k)|bkj|^2 = ||A||E2||B||E2 3) ||A||E2= trA*A = trAA* 4) ||A||E2 = p1^2 +…+ps^2 5) ||A||E >=||A||2 по предыдущему св-ву 6) ||A||E не меняется при умножении на ортогональные (унитарные) операторы)св-во 4, теорема для сингулярных чисел (Б53).  

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: