Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






Дифференцируемость сложной функции




Теорема: Пусть ф-ция x(t), y(t) диф-мы в т. t0,. Это эквивалентно существованию производной в этой т. Пусть x0=x(t0),и y0=y(t0) если ф-ция z=f(x,y) диф-ма в т. (x0,y0).

Тогда сложная функция: z=f(x(t),y(t)) – определена в некоторой окрестности т. с и имеет в т. t0 производную, которая вычисляется по формуле:

или более подробно:

Следствие: пусть ф-ции: x=x(U,V) и y=y(U,V) определены в некоторой окрестности т. (U0,V0) а ф-ция z=f(x,y) определена в некоторой окрестности т.(x0,y0) где: x=x(U0,V0) и y=y(U0,V0).

Если ф-ция f(x,y) диф-ма в т.(x0,y0) и если в т. (U0,V0)существуют частные производные:

то в т. (U0,V0) существуют и частные производные: сложной функции

z=f(x(U,V),y(U,V))причем:

аналогично: ;

Пример: ; x=sint; y=t4;

; ; ; ;

Инвариантность формы 1-го диф-ла, относительно выбора переменных.

Имеет место Теорема: пусть ф-ция z=f(x); определена в некоторой окрестности x(0)= у функции xi, где i = 1, 2…,n; t=(t1…tk),определены в окрестности и пусть i = 1, 2…, n; Тогда если ф-ция f(x) диф-ма в т. x(0), а ф-ции xi=xi(t) диф-мы в т. t(0) то сложная ф-ция:

F(x(t))=f(x1(t), x2(t),…, xn(t)),

Определена в некоторой окрестности т. t(0) и диф-ма в это т. При этом диф-ал ф-ции f(x(t)) в т. t(0) имеет вид: или

Это теорема есть выражение св-ва инвариантности полного диф-ла относительно выбора переменных.

Т.е. полный диф-л ф-ции z=f(x,y) выражается одной и той же переменой как в случае, когда аргументы x,y – независимые переменные, так и в том случае когда эти аргументы в свою очередь явл-ся истинными ф-ми от нескольких независимых переменных. Лишь бы эти ф-ции имели соответствующие непрерывные частные производные.

Из этой теоремы легко получить следующие правила дифференцирования ФАП:

d(CU)=CdU;

d(UV)=VdU+UdV;

Из это же теоремы следует формула: d(f(U))=f ‘(U)dU.






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных