за 2011/2012 учебный год

Вопросы по функциональному анализу и интегральным уравнениям

(специальность ПМ)

Раздел «Мера. Интеграл Лебега»

1. Кольцо, полукольцо, алгебра. Структура кольца, порожденного полукольцом.

2. Мера как функция, ее σ -аддитивность, свойства меры на кольце.

3. Непрерывность и счетная аддитивность меры.

4. Продолжение меры с полукольца на кольцо.

5. Внешняя мера и ее свойства.

6. Измеримые по Лебегу множества. Критерий измеримости.

7. σ -аддитивность меры Лебега, σ -алгебра измеримых множеств.

8. Мера Лебега-Стилтьеса ее σ -аддитивность.

9. Абсолютно непрерывные меры, абсолютно непрерывные функции.

10. Измеримые функции и алгебраические операции над ними.

11. Сходимость на множестве измеримых функций. Сходимость почти всюду.

12. Равномерная сходимость. Теорема Егорова.

13. Интеграл Лебега от простых функций и его свойства.

14. Интеграл Лебега на множестве конечной меры и его свойства.

15. Абсолютная непрерывность и σ -аддитивность интеграла Лебега.

16. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.

17. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана.

Раздел «Нормированные и гильбертовы пространства»

18. Нормированные векторные пространства. Примеры. Свойства нормы.

19. Неравенства Гельдера, Юнга, Минковского. Пространство CL_p[a,b], ℓ_{p .} p³1.

20. Открытые и замкнутые множества в нормированных векторных пространствах. Примеры.

21. Внутренние, внешние, граничные и предельные точки. Примеры. Теорема о замкнутом множестве.

22. Предел последовательности в нормированном пространстве. Теорема о точке прикосновения.

23. Отображения в нормированных пространствах. Теорема о непрерывном отображении, непрерывность композиции отображений.

24. Эквивалентные нормы. Теорема об эквивалентных нормах в конечномерных пространствах.

25. Аппроксимация в нормированных пространствах. Теоремы о существовании и единственности элемента наилучшей аппроксимации.

26. Банаховы пространства. Примеры. Принцип вложенных шаров.

27. Всюду плотные и нигде не плотные множества. Примеры. Теорема Бэра о категориях.

28. Ряды в банаховых пространствах. Критерий полноты пространства.

29. Предгильбертовы пространства. Свойства скалярного произведения. Примеры.

30. Теорема о пополнении нормированного векторного пространства.

31. Гильбертовы пространства. Примеры. Теорема об элементе наилучшей аппроксимации.

32. Проекция в гильбертовом пространстве. Теорема о проекции. Ортогональное дополнение.

33. Разложение гильбертова пространства в прямую сумму. Теорема о плотном множестве.

34. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах. Теорема о разложении в ряд Фурье. Экстремальное свойство отрезка ряда Фурье.

35. Теорема о полной ортонормированной системе в гильбертовом пространстве. Примеры полных ортонормированных систем в конкретных пространствах.

36. Пространство L₁[a,b], его полнота, всюду плотные множества в нем.

37. Средние по Стеклову, их свойства.

38. Пространство Соболева H¹[a,b], его полнота, всюду плотные множества в нем.

39. Теорема о вложении пространства Соболева H¹[a,b] в пространство C[a,b]. Абсолютная непрерывность функций из пространства H¹[a,b].

40. Компактные множества в нормированных пространствах. Критерий компактности Хаусдорфа.

41. Предкомпактные множества. Теорема Арцела-Асколи.

42. Лемма о почти перпендикуляре. Критерий конечномерности нормированного пространства.

43. Сжимающие отображения. Теоремы о неподвижной точке сжимающего отображения.

44. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода.

45. Применение принципа сжимающих отображений к интегральным уравнениям Вольтера второго рода.

46. Непрерывные отображения на компактах и их свойства.

Раздел «Линейные ограниченные операторы»

47. Линейные ограниченные операторы. Примеры. Ограниченность и непрерывность.

48. Ограниченность интегрального оператора в пространствах C[a.b], L_p[a.b], p>1.

49. Пространство линейных ограниченных операторов и его полнота. Равномерная сходимость. Примеры.

50. Сильная сходимость в пространстве В(X,Y). Принцип равномерной ограниченности.

51. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее применение.

52. Непрерывная обратимость оператора и ее критерий.

53. Обратные операторы. Левый и правый обратные операторы и разрешимость уравнения Aх=y. Число обусловленности оператора.

54. Теорема Банаха об обратном операторе.

55. Непрерывная обратимость оператора I-A.

56. Применение теории обратных операторов к интегральным уравнениям.

57. Линейные ограниченные функционалы. Теорема Хана-Банаха о продолжении линейного ограниченного функционала.

58. Следствия из теоремы Хана-Банаха.

59. Сопряженное пространство. Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве.

60. Сопряженное пространство. Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве непрерывных функций.

61. Сопряженный оператор и его применение.

62. Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве и его норма.

63. Оператор ортогонального проектирования и его свойства.

64. Пространство компактных операторов.

65. Компактные операторы в гильбертовых пространствах, их структура.

66. Теория Рисса-Шаудера. Замкнутость множеств R(I-A), R(I-A^*).

67. Первая теорема Фредгольма.

68. Вторая теорема Фредгольма.

69. Третья теорема Фредгольма. Альтернатива Фредгольма.

70. Линейные уравнения первого рода с компактным оператором. Интегральные уравнения первого рода и их разрешимость..

71. Собственные значения и собственные векторы компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.

72. Теорема Гильберта-Шмидта о разложении компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.

73. Разрешимость интегральных уравнений второго рода с симметричным ядром.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: