Логические операции

Для изучения логических операций введем следующую систему обозначений:

· простые высказывания будем обозначать буквами a, b, c, …, x, y,z;

· значения истинности будем обозначать 1 – истинно, 0 – ложно.

Действия логических операций будем представлять в виде таблиц истинности.

1. Отрицание или инверсия (Ø – НЕ)

Пример.

а: 7 делится на 5 без остатка.

Øа: Неверно, что 7 делится на 5 без остатка.

Эта таблица и принимается в качестве определения операции отрицания.

2. Конъюнкция (Ù,&, ·, логическое И)

Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а&b истинно только в том случае, когда оба высказывания (а и b) имеют значение истинно.

Примеры.

а. 6 делится на 3 без остатка (1);

b. 10 больше 5 (1);

с. 7 делится на 3 без остатка (0);

d. 3 больше 7 (0);

a&b=1

a&c=0

c&d=0

3. Дизъюнкция (Ú,+,логическое ИЛИ)

Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание аÚв ложно только в том случае, когда оба высказывания (а и в) ложны.

Примеры.

аÚb=1

aÚc=1

cÚd=0

4. Импликация () “если а, то b”

Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а b ложно только в том случае, когда а истинно, а b – ложно.

a	b	a b

А называется антецедентом, а b – консеквентом.

5. Эквивалентность (~ )

Действие операции определяется следующим образом: сложное высказывание а~b истинно, если а истинно и b истинно, или если а ложно и b ложно.

Эквивалентность примерно соответствует употреблению выражения «тогда и только тогда».

6. сумма по модулю два

a	b	a b

7. Штрих Шеффера (ê, обратная конъюнкция И – НЕ)

8. Стрелка Пирса (, обратная дизъюнкция ИЛИ – НЕ)

a	b	a b

Используя эти логические операции можно строить сколь угодно сложные высказывания.

Приоритет выполнения операций:

⌐ & Ú ~ ê

Пример: Сложное высказывание: «Если вы не пропускаете занятия и успешно занимаетесь, то Вы сдадите экзамен хорошо» можно записать следующим образом. Обозначим:

П – пропускаете занятия;

Y – успешно занимаетесь;

Х – сдадите экзамен хорошо,

тогда все высказывание запишется:

Значение истинности всего выражения будет зависеть от истинности переменных обозначающих простые высказывания.

Пример.

Пусть a=1, b=0, c=0, d=1.

Символы ⌐ & Ú ~ ê называются пропозициональными связками, a, b, c, … и т. д. - пропозициональными переменными. Выражение, построенное из пропозициональных переменных с помощью пропозициональных связок, называется пропозициональной формой или формулой.

Булевы функции

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: