ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Возрастание и убывание функции, ее экстремумы
Рассмотрим функцию , непрерывную вместе со своей производной на некотором промежутке. Геометрический смысл производной заключается в том, что , где - угол наклона касательной к положительному направлению оси O х. Если с возрастанием значения аргумента х значение функции y возрастает, то функция является возрастающей (на рис. в интервале ). Касательные, проведенные к кривой у = f(х) в любой точке этого промежутка, образуют с осью Ох острый угол, тангенс которого положителен, т. е. для величина . Значит, если функция возрастает на некотором промежутке, то ее производная на этом промежутке положительна. Теорема. Если функция f(x) имеет положительную производную в каждой точке интервала l, то эта функция возрастает на этом интервале. Если функция f(x) имеет отрицательную производную в каждой точке интервала l, то эта функция убывает на этом интервале. Замечание. Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонного изменения функции. Мы предположили, что наша функция и ее производная непрерывны, а значит они меняют знаки с «-» на «+» или с «+» на «-» только при переходе через нуль, т. е. в тех точках, в которых интервал убывания сменяется интервалом возрастания, (в которых у' = 0). В этих точках мгновенная скорость изменения функции равна нулю. Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими. На рис. 2.1. имеются три критические точки а, с, е.
Пример.2.7. Найти интервалы монотонного изменения функции Решение. Найдем производную: .
Эта функция непрерывна. Чтобы найти критические точки, приравняем производную нулю и найдем корни полученного уравнения:
Разобьем числовую прямую на интервалы: ; ; . Определим знак производной в каждом из интервалов. В результате определим участки возрастания-убывания функции.
Таким образом, при и функция возрастает, при - убывает. Наименьшее значение функции в окрестности некоторой точки называют минимальным значением (min), а наибольшее ее значение - максимальным (max). Дадим строгое определение этим понятиям.
Точка из области определения функции f называется точкой минимума этой функции, если у этой точки есть окрестность во всех точках которой, не совпадающих с точкой , (2.7) Точка из области определения функции f называется точкой максимума этой функции, если у этой точки есть окрестность во всех точках которой, не совпадающих с точкой , (2.8) Максимумы и минимумы называются экстремумами функции. Замечание. Так как речь идет об экстремальных значениях функции в окрестностях некоторых точек, то иногда определенные нами экстремумы называются локальными экстремумами. У непрерывной функции точки минимума и максимума обязательно чередуются. Рассмотрим необходимое условие существования экстремума. Теорема Ферма. Если внутренняя точка x о из области определения непрерывной функции f(х) является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, т. е. (2.9)
Пример. 2.8. Исследовать на экстремум функцию . Решение. Функция точек разрыва не имеет. Область определения – вся числовая ось. Исследуем данную функцию на экстремум. Определим критические точки. Для этого находим первую производную данной функции и приравниваем ее к нулю: Разобьем числовую прямую на интервалы: ; ; . Определим знак производной в каждом из интервалов. В результате определим участки возрастания-убывания функции.
При производная меняет знак с «плюса» на «минус», то есть в этой точке функция имеет максимум. Для определения значения этого минимума подставим в первоначальное выражение функции , в результате получим . При производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то есть в этой точке функция имеет минимум. Для определения значения этого максимума подставим в первоначальное выражение функции , в результате получим . Таким образом, функция имеет две точки экстремума: - максимум; - минимум.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|