ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Нечеткое представление неопределенных параметровРассмотрим некоторый неопределенный параметр , который может соответствовать вероятности, стоимости, времени или другому показателю. Для описания параметра с помощью теории нечетких множеств этот параметр необходимо преобразовать к нечеткому числу , т.е. задать функцию принадлежности. В настоящем разделе предлагается два способа формирования функций принадлежности: трапециевидный и треугольный. Они позволяют использовать следующую экспертную информацию параметре: · название параметра ; · диапазон изменения значений параметра ; · количество лингвистических термов, с помощью которых оценивается параметр ; · название каждого лингвистического терма. Определение 4.1. Трапециевидной формой нечеткого числа (неопределенного параметра ) будем называть четверку: (4.1) где - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа на нулевом -уровне; - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа на единичном -уровне; Интервал будем называть оптимистической оценкой параметра , а интервал - пессимистической оценкой параметра . Такое представление соответствует функции принадлежности, показанной на рис.4.1, которая имеет следующий вид: (4.2) В этом случае носителем нечеткого числа будет интервал , а ядром - . Предложение 4.1. Если нечеткое число задано в трапециевидной форме , то переход к -уровневому описанию осуществляется по формулам: (4.3) (4.4)
Рис. 4.1. Нечеткое число с трапециевидной функцией принадлежности Доказательство. Для перехода к -уровневому описанию необходимо определить значение нечеткого числа на любом -уровне, т.е. найти такие и , что , где и - степени принадлежности элементов и нечеткому множеству , соответственно. Учитывая аналитический вид трапециевидной функции принадлежности (4.2) и подставляя , получаем: ; . Отсюда следует, что , , Пример 4.1. Пусть вероятность () безошибочного выполнения операции равна "около 0.9". Требуется задать эту информацию в виде нечеткого числа с трапециевидной функцией принадлежности. Решение. Согласно определению 4.1, число представим в следующем виде: где [0.8, 1] - пессимистическая оценка параметра ; [0.85, 0.95] - оптимистическая оценка параметра . Разложение нечеткого числа по -уровневым множествам имеет вид: Пример 4.1 иллюстрируется на рис. 4.2,
Рис. 4.2. К примеру 4.1 Определение 4.2. Треугольной формой нечеткого числа будем называть тройку вида: (4.5) где - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа на нулевом -уровне; - значение нечеткого числа на единичном -уровне. Такое описание соответствует функции принадлежности, показанной на рис.4.3, которая имеет следующий аналитический вид: Носителем нечеткого числа в этом случае является интервал , а ядром, - число . Интервал будем называть пессимистической оценкой, а число , - оптимистической оценкой параметра . Рис. 4.3. Нечеткое число с треугольной функцией принадлежности Предложение 4.2. Если нечеткое число задано в треугольной форме то переход к -уровневому описанию осуществляется по формулам: ; . Доказательство. Треугольная форма неопределенного параметра является частным случаем трапециевидной формы при . Подставляя в формулы (4.3) и (4.4), получаем: ; . Пример 4.2. Пусть время () выполнения операции составляет " около 2 сек ". Требуется представить эту информацию в виде нечеткого числа с треугольной формой функции принадлежности. Решение. Согласно определению 4.2, нечеткое число представим в следующем виде: , где [1.6, 2.2] и 2 - пессимистическая и оптимистическая оценки, соответственно, которые предполагаются известными. Разложение числа по -уровневым множествам имеет вид: . Пример 4.2 иллюстрируется на рис. 4.4. принадлежности для термов Определение 4.3. l-формой неопределенного параметра (нечет-кого числа ) будем называть тройку вида: (4.7) где - нижняя (верхняя) граница изменения параметра ; l - лингвистическая оценка параметра диапазоне , причем . - линейно-упорядоченное по принципу от "меньшего" к "большему" множество лингвистических термов для качественной оценки параметра (рис.4.5). Допущение 4.1. При переходе от l -формы (4.7) нечеткого числа к трапециевидной форме (4.1) будем предполагать, следующее: (1) носителем нечеткого числа является интервал ; (2) размер ядра нечетного числа зависит oт мощности () терм-множества , носителя и не зависит от лингвистической переменной; (3) для любых соседних термов и : , где и - нижние границы ядра нечеткого числа , выраженного лингвистическими оценками и , соответственно; (4) для первого терма ; (5) для последнего терма ; Предложение 4.3. Если неопределенный параметр задан -формой нечеткого числа , где , то переход от -формы к трапециевидной форме (4.1) осуществляется по формулам: (4.8) (4.9) (4.10) (4.11)
где - нижняя (верхняя) граница носителя нечеткого числа , оцениваемого лингвистическим термом ; - нижняя {верхняя) граница ядра нечеткого числа , оцениваемого лингвистическим термом . Доказательство. Из допущения 4.1(1) следует, что для любого лингвистического терма : и . Учитывая, что размер ядра нечеткого числа определяется по формуле , и, опираясь на допущения 4.1(2)-4.1(5), получаем, что в интервал попадает ровно (2 -1) отрезков длиной . Отсюда, . С учетом этого получаем: для первого терма : ; ; для второго терма : ; для последнего терма : ; . Отсюда для любого терма : ; . Предложение 4.3 иллюстрируется рис.4.6. Рис. 4.6. Переход от -формы нечеткого числа к трапециевидной форме в случае 4-х термов Пример 4.3. Пусть вероятность обнаружения ошибок при визуальном контроле задана в виде =<0.3, 0.8, выше средней >. При этом используется множество лингвистических оценок: = { низкая, ниже средней, средняя, выше средней, высокая }. Необходимо представить число в трапециевидной форме. Решение. Количество лингвистических термов (мощность множества ) равно =5. Лингвистическая оценка " выше средней " в множестве имеет порядковый номер =4. Применяя формулы (4.8)-(4.11) из предложения 4.3, получаем: ; ; ; . Поэтому в трапециевидной форме: =<0.3, 0.8, 0.63, 0.69>, или в виде разложения по -уровневым множествам: . Графическое изображение нечеткого числа представлено на рис.4.7. Рис. 4.7. К примеру 4.3 Допущение 4.2. При переходе от -формы нечеткого числа (4.7) к треугольной форме (4.5) будем предполагать следующее: · носителем нечеткого числа является интервал ; · для первого терма : ; · для последнего терма : ; · для соседних термов и () расстояние между ядрами является постоянной величиной, где , , , - ядра нечеткого числа соответствующие термам , , , . Предложение 4.4. Если неопределенный параметр задан -формой нечеткого числа, где , где , то переход от -формы нечеткого числа к треугольной форме (4.5) осуществляется по формулам: (4.12) (4.13) (4.14)
где - нижняя (верхняя) граница носителя нечеткого числа , выраженного лингвистической оценкой ; - ядро нечеткого числа , выраженного лингвистической оценкой . Доказательство этого предложения аналогично тому, которое| использовалось в предложении 4.3. Предложение 4.4 иллюстрирует рис.4.8. Пример 4.4. Пусть информация о времени выполнения контрольной операции задана -формой нечеткого числа: = < 10, 19, высокое >. Множество лингвистических оценок имеет вид: = { низкое, среднее, высокое, очень высокое }. Требуется представить число в треугольной форме. Решение. Количество лингвистических термов (мощность множества ) равно четырем. Лингвистическая оценка < высокое > в множестве имеет порядковый номер =3. Применяя формулы (4.12)-(4.14), получаем: ; ; . Окончательно находим: =< 10, 19. 16 >. Функция принадлежности нечеткого числа показана на рис.4.9. Рис. 4.8. Переход от -формы к треугольной в случае пяти термов Рис. 4.9. К примеру 4.4
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|