Дифракционный интеграл Кирхгофа – Френеля – Зоммерфельда

При решении задачи о дифракции на плоском экране в координатной области с плоскостью отверстия связывают координатную плоскость XY декартовой системы координат XYZ, а с плоскостью, в которой расположена точка Р (эта плоскость называется плоскостью наблюдения), параллельной плоскости XY и находящейся на расстоянии z от нее – координатную плоскость X¢Y¢, начало O¢ которой расположим на оси Z системы XYZ (рис. 5.3). Координаты x¢ и y¢ вводятся только для удобства описания поля в плоскости наблюдения; при таком выборе начала координат ко-

Рис. 5.3

ординаты x¢ и y¢ принимают те же значения, что и x и y. Учитывая, что координатами точки M являются x и y, заменим в интеграле (5.2) на , Е (Р) на а на dxdy. Интеграл (5.2) примет вид

E′ (x¢, y¢) = , (5.3)

где Е (x, y) = E _S t (x, y), t (x, y) – апертурная функция экрана, – угол между нормалью n к плоскости экрана (положительным направлением оси Z) и отрезком прямой, соединяющим точку М (x, y, 0), являющуюся центром элемента dxdy, с точкой в плоскости наблюдения

r = (5.4)

– расстояние между точками М и Р. Интеграл (5.3) и определяет искомую связь амплитуд и . Предполагается, что амплитуда тождественно равна нулю всюду кроме отверстия, поэтому интегрирование в (5.3) распространено на всю плоскость XY (производится по бесконечным пределам).

Интеграл (5.3) называют интегралом суперпозиции или дифракционным интегралом Кирхгофа – Френеля – Зоммерфельда (иногда Рэлея – Зоммерфельда). Он связывает распределение поля (оптический сигнал) в плоскости непосредственно за экраном (в плоскости z = 0) с распределением поля (оптическим сигналом) в плоскости на расстоянии z от экрана. Роль оптической системы, преобразующей входной сигнал в выходной сигнал , играет здесь слой свободного пространства между двумя параллельными плоскостями. Соотношение (5.3) показывает, что на расстоянии r >> l комплексная амплитуда светового поля в произвольной точке плоскости наблюдения определяется как суперпозиция элементарных комплексных амплитуд c комплексной весовой функцией Физически это означает, что, как и в случае интеграла (5.2), каждая точка М (x, y) поля испускает сферическую волну с амплитудным множителем

Интеграл (5.3) является решением скалярного волнового уравнения Гельмгольца для свободного пространства.

Если экран освещается нормально падающей плоской монохроматической волной, что соответствует бесконечно удаленному от экрана источнику S или точечному источнику S, находящемуся в фокусе собирающей линзы, помещенной перед экраном, то E_S = = E ₀, где E ₀ – комплексная амплитуда падающей на экран плоской волны. Если экран освещается сферической волной от точечного источника S, то E_S = (E ₀ / r ₀) exp(ikr ₀), где E ₀ – комплексная постоянная, r ₀ – расстояние от источника S до центра элемента В этом случае интеграл (5.3) преобразуется к виду

E′ (x¢, y ¢) = . (5.5)

Если точечный источник S расположен на оси z в точке (0, 0, – а), то расстояние

(5.6)

Глава 3

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: