Классификация математических моделей

Математические модели различают в основном по характеру отображаемых свойств системы, степени их детализации, способам получения и формального представления.

Структурные и функциональные модели. Если ММ отображает элементы и их связи в системе, то ее называют структурной математической моделью. Если же ММ отражает происходящие в системе какие-либо процессы, то ее относят к функциональным математическим моделям. Ясно, что могут существовать и смешанные ММ, которые описывают как функциональные, так и структурные свойства системы. Структурные ММ делят на топологические и геометрические, составляющие два уровня иерархии ММ этого типа. Первые отображают состав системы и связи между его элементами. Топологические ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложной системы. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т.п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы системы.

Геометрическая ММ дополнительно к информации, представленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах системы и ее элементов, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебраические соотношения, опре­деляющие принадлежность областей пространства системе или ее элементам. Геометрические ММ находят применение при проектирова­нии элементов технических систем, разработке технической документации и технологических процессов изготовления изделий.

Функциональные ММ состоят из соотношений, связываю­щих между собой фазовые переменные, т.е. внутренние, внеш­ние и выходные параметры системы. Функционирование сложных систем нередко удается описать лишь при помощи совокупности ее реакций на некоторые известные (или заданные) входные воздействия. Такую разновидность функциональной ММ относят к типу черного ящика и обычно называют ими­тационной математической моделью, имея в виду, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования, не раскрывая и не описывая существа протекающих в системе процессов. Имитационные ММ находят широкое применение в исследовании сложных систем.

По форме представления имитационная ММ является примером алгоритмической ММ, поскольку связь в ней между входными и выходными параметрами системы удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде программы. К типу алгоритмических ММ относят широкий класс как функциональных, так и структурных ММ. Если связи между параметрами системы можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При создании иерархии ММ одной и той же системы обычно стремятся к тому, чтобы упрощенный вариант ММ был представлен в аналитической форме, допускающей точное решение, которое можно было бы использовать для сравнения при тестировании результатов, полученных при помощи более полных и поэтому более сложных вариантов ММ.

Ясно, что ММ конкретной системы по форме представления может включать признаки как аналитической, так и алгоритмической ММ. Более того, в процессе моделирования аналитическую ММ преобразуют в алгоритмическую.

По способу получения математические модели могут быть теоретическими или эмпирическими. Первые получают в результате изучения свойств системы, протекающих в ней процессов на основе использования известных фундаментальных законов со­хранения, а также уравнений равновесия, а вторые являются итогом обработки результатов внешних наблюдений за проявлением этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключает­ся в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных системы, и в последующем обоб­щении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому по форме представления эмпириче­ская ММ может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической ММ. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации.

Особенности функциональных моделей. Одной из характерных особенностей функциональной ММ является наличие или отсутствие среди ее параметров случайных величин. При наличии таких величин ММ называют стохастической (или вероятностной), а при их отсутствии - детерминированной.

Далеко не все параметры реальных систем можно характеризовать вполне определенными значениями. Поэтому ММ таких систем, строго говоря, следует отнести к стохастическим, поскольку выходные параметры системы будут случайными величинами. Случайными могут быть и значения внешних параметров.

Для анализа стохастических ММ необходимо использовать выводы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. Однако основная трудность в их примене­нии обычно связана с тем, что вероятностные характеристики случайных величин (математические ожидания, дисперсии, законы распределения) часто не известны или известны с не высокой точностью, т.е. ММ не удовлетворяет требованию продуктивности. В таких случаях эффективнее использовать ММ, более грубую по сравнению со стохастической, но и более устойчивую по отношению к недостоверности исходных данных.

Существенным признаком классификации ММ является их возможность описывать изменение параметров системы во времени. Если при этом в ММ отражено влияние инерци­онных свойств системы, то ее обычно называют динамической. В противоположность этому ММ, которая не учитывает изме­нение во времени параметров системы, называют статической.

Стационарные ММ описывают системы, в которых протекают так называемые установившиеся процессы, т.е. процессы, в которых инте­ресующие нас выходные параметры постоянны во времени. К установившимся относят и периодические процессы, в кото­рых некоторые выходные параметры остаются неизменными, а остальные претерпевают колебания.

Если выходные параметры системы изменяются медленно и в рассматриваемый фиксированный момент времени этими изменениями можно пренебречь, то считают ММ нестационарной.

Важным с точки зрения последующего анализа свойством ММ является ее линейность, в смысле связи параметров системы линейными соотношениями. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра системы линейная ММ предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров — сложение их влияний, т.е. такая ММ обладает свойством суперпозиции. Если ММ не обладает свойством суперпозиции, то ее называют нелинейной .