Линейное многообразие

Пусть дано n- мерное ЛВП , над множеством R(или С), и дана система линейных неоднородных уравнений (*)

И ей дана присоединенная (соответствующая) система линейных уравнений(**)

Будем считать, что каждая система (*) и (**) имеет ранг основной матрицы, равный r и введем обозначение s=n-r.

Совокупность всех решений системы (*) (точек ЛВП ), удовлетворяющих системе (*) называется линейным многообразием.

Согласно теореме о решениях системы СЛНУ и присоединенной системы СЛОУ можно сказать что линейное многообразие представляет собой множество \совокупность всех решений системы (**), к каждому из которых прибавлено некоторое частное решение системы (*)

– алгебраический вектор, равный суме всех фундаментальных решений системы (*) с некоторыми скалярами; частное решение систем (*) обозначим через а, и обозначим через х общее решение системы (*)

Таким образом второе определение линейного многообразия имеет вид:

Можно считать, что совокупность решений (**) представляет собой некоторую плоскость в n- мерном пространстве , проходящей через начало координат.

Пусть ко всем векторам этой плоскости прибавлен некоторый произвольный вектор а из пространства . Получается следующее:

Плоскость П будет собой представлять плоскость П(0) сдвинутую на вектор а.

Концы всех векторов полученных путем сложения векторов плоскости П(0) и фиксированного вектора а, представляет собой плоскость П, и каждый из них согласно вышеуказанной теореме о связи решений, совокупность всех решений системы (*).

Верно и обратное:

Пусть дана система (**) (Плоскость П(0)), и некоторый произвольный вектор А из пространства . Подставим координаты данного вектора в систему (**).

В силу произвольности выбора вектора А, легко понять, что вектор А не единственный и система (***) представляет собой систему (*). Таким образом, множество всех решений системы (*) (плоскость П) представляет собой множество всех решений системы (**) (Плоскость П(0)), к каждому из которых прибавлен произвольный фиксированный вектор А, имеющий собой некоторое частное решение системы (*).

Линейное многообразие (*) называется s-мерным если пространство порожденное системой так же является s- мерным.

S- мерыне плоскости в аффинном пространстве.

Пусть дано аффинное пространство размерности n в котором выбрано некоторое начало координат.

Вновь рассмотрим систему (*) и на этой основе «родим» следующее определение:

Множество\совокупность всех точек из аффинного пространства , координаты которого удовлетворяют системе (*), называется S- мерной плоскостью, где s=n-r

Одномерные плоскостью. Называются прямыми. Плоскости размерность которых больше 1 и меньше n называются гиперплоскостями.

Всякую гиперплоскость можно задать системой линейных неоднородных уравнений вида (*). Например гиперплоскость размерности n-1 можно задать с помощью одного уравнения (s=n-r=n-n+1=1):

Легко показать, что при переходе от одного начала координат к другому в аффинном пространстве ранг системы (*) не уменьшается.

Пусть П – некоторая s- мерная плоскость, удовлетворяющая системе (*).

П(0) – такая же s- мерная плоскость, проходящая через начало координат.

Если ко всеем векторам П(0) прибавить произвольный вектор А из , то получится что П=П(0)+А, то есть плоскость П представляет собой линейное многообразие.

Две S- мерные гиперплоскости параллельны, если определяющие их системы вида (*) таковы, что присоединенные системы являются равносильными. То есть имеют одни и те же решения.

Две s- мерные гиперплоскости называются пересекающимися, если определяющие их системы вида (*) таковы, что присоединенные системы имеют общее решение, которое составлено из уравнений присоединенных систем.

S- мерная плоскость = П(0) и N – Мерная гиперплоскость = П(1) называются параллельными, если гиперплоскость П(0) параллельная любой гиперплоскости содержащейся в гиперплоскости П(1). Другими словами, всякое решение присоединенной системы характеризующей гиперплоскость П(1), является решением присоединенной системы, характеризующей гиперплоскость П(0).

То есть, иначе говоря, СЛОУ, характеризующая гиперплоскость П(1), является следствием СЛОУ, характеризующей П(0)

Пусть П – s- мерная гиперплоскость. Общее решение присоединенной системы, характеризующей гиперплоскость п(системы (*)и (**)), имеет вид

Или

Переходя к координатной записи, получаем параметрическое задание плоскости П:

Примечание:

1) Если гиперплоскость П оказалась прямой, то фундаментальное решение системы (**) будет единственным, и вследствие этого константа а будет иметь единственное значение.

Исключая параметр «а» из системы (****) получаем каноническое уравнение прямой. (учим геометрию господа)

2) Если гиперплоскость П оказалась двухмерной плоскостью, то (система (****)) будет иметь два фундаментальных решения системы (**).

Следовательно, будет 2 параметра: «а1» и «а2».

Тогда система (****) будет иметь вид:

S- мерная плоскость = П(0) и N – Мерная гиперплоскость = П(1) называются пересекающимися если, СЛНУ (*), составленная из СЛНУ, задающих эти гиперплоскости, имеет решение.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: