ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Полная производная по времени t функции Ляпунова, вычисленная в силу системыПусть дана нелинейная нестационарная система дифференциальных уравнений вида: (1.6.1) с областью определения (1.6.2) Причем в этой области функция : (а)) непрерывна по t, x; (б) имеет непрерывные частные производные вида , (1.6.3) ограниченные равномерно по на любом компактном подмно- жестве из области (или говорят кратко, непрерывно дифференцируемы по ); в) , т.е. система допускает тривиальное решение Повторим, что условия (1.6.3) означают, что область (1.6.2) есть область единственности для системы (1.6.1). Пусть также дана функция Ляпунова вида , определенная в некоторой области , и пусть функция Ляпунова вида – непрерывно дифференцируема по t, x в , т.е. усилим свойства ее непрерывности, задаваемые введенным выше определением функции Ляпунова. Вычислим полную производную по времени как сложную функцию аргументов t, x. Введем обозначения
Тогда Подставляя в последнее выражение для в силу системы (1.6.1), получим: (1.6.4) Здесь введена вектор-функция – градиент скалярной-функции по вектору x вида: (1.6.5) Определение. Выражение (1.6.4) называется полной производной по времени t функции Ляпунова , вычисленной в силу приведенной системы (1.6.1).■ Замечание 1. Если есть произвольное решение системы (1.6.1), то , в силу выражения (1.6.4), представляет собой полную производную по времени t сложной функции , т.е. .■ (1.6.6) Замечание 2. Заметим, что если функции Ляпунова из формулы полной производной (1.6.4) не придать дополнительные свойства непрерывной дифференцируемости по t и x, то из формулы (1.6.6) могут не следовать формулы (1.6.4), (1.6.5), так как для ) не будет удовлетворяться требование непрерывности по t, x кней как к функции Ляпунова. ■
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|