Интегральные операторы

Интегралы могут быть сформированы по объемам, поверхностям или линиям. Конкретная интерпретация интегральных операторов зависит от системы координат данной проблемы.

Объемные интегралы

Операторы INTEGRAL и VOL_INTEGRAL синонимичны, и исполняют интегрирование по объему.

2-мерные объемные интегралы

Форма прототипа в 2-ом:

INTEGRAL (< подынтегральное выражение >, < область >)

Или VOL_INTEGRAL (< подынтегральное выражение >, < область >)

Здесь <область> может быть определена номером или названием (или может быть опущена, когда подразумевается полная область).

В двумерных декартовых проблемах, элемент объема сформирован, продлевая двумерную ячейку единицу длины в Z-направлении, так чтобы объемный интеграл был тот же самый как интеграл по области в координатной плоскости.

В двумерных цилиндрических проблемах, элемент объема сформирован как 2*pi*r*dr*dz, так чтобы объемный интеграл был НЕ тот же самый как интеграл по области в координатной плоскости. Для частного случая 2-ой цилиндрической геометрии, дополнительный оператор

AREA_INTEGRAL (< подынтегральное выражение >, < область >)

вычисляет интеграл от подынтегрального выражения по обозначенной области (или по полной областьи) без 2*pi*r взвешивания.

Трехмерные объемные интегралы

Форма прототипа в трехмерном случае:

INTEGRAL (<integrand>,<region>,<layer>)

or VOL_INTEGRAL(<integrand>,<region>,<layer>)

Здесь <layer> может быть определен номером или именем, или он может быть опущен, когда полный набор слоев подразумевается. <Region> может также быть определен номером или именем, или он может быть опущен, когда полная область проекции подразумевается.

Если <region> опущен, то <layer> должен быть определен по имени или опущен. Если оба и опущены, подразумевается полная область.

Например,

INTEGRAL (<integrand>,<region>,<layer>) означает интеграл по подобласти, содержащейся в выбранной области(регионе) и слое.

INTEGRAL (<integrand>,<region>,< named_layer >) означает интеграл по всем областям(регионам) названного слоя.

INTEGRAL (<integrand>,<region>) означает интеграл по всем слоям выбранной области(региона).

INTEGRAL (<integrand>) означает интеграл по полному домену(области).

Поверхностные интегралы

Операторы SINTEGRAL и SURF_INTEGRAL синонимичны и выполняют поверхностное интегрирования.

2-ые поверхностные интегралы

Форма прототипа в 2-ом случае:

SINTEGRAL (<integrand >, < named_boundary >)

or SURF_INTEGRAL(<integrand>,<named_boundary>)

Здесь < named_boundary > может быть определена по имени, или она может быть опущена, когда полная внешняя граница области подразумевается.

В двумерных декартовых проблемах, поверхностный элемент сформирован, продлевая двумерный элемент линии на длины в Z-направлении, так чтобы поверхностный элемент был dl*1. В этом случае поверхностный интеграл тот же самый как линейный интеграл.

В двумерных цилиндрических проблемах, поверхностный элемент сформирован как 2*pi*r*dl, так что поверхностный интеграл НЕ тот же самый как линейный интеграл.

Область, в которой оценка сделана, может управляться, обеспечивая третий параметр, как в

примере

SURF_INTEGRAL(<integrand>,<named_boundary>,<named_region>)

<Область>(<регион>) должна быть одна из областей(регионов), ограниченных выбранной поверхностью.

Трехмерные поверхностные интегралы

В трехмерных проблемах, имеются несколько форм для поверхностного интеграла:

1. Интегралы по поверхностям вытеснения выбраны именем поверхности или номером или номером и именем области(региона):

SINTEGRAL(<integrand>,<surface>,<region>)

or SURF_INTEGRAL(<integrand>,<surface>,<region >)

Если <region> опущена, интеграл принят по всем областям указанной поверхности.

Если <surface> и <region > опущены, интеграл принят по полной внешней поверхности домена(области).

Интегралы этого типа могут быть далее квалифицированы, выбирая слой, в котором оценка должна быть сделана:

SURF_INTEGRAL(<integrand>,<surface>,<region>,<layer >),

<layer> должен быть один из слоев, ограниченных отобранной поверхностью.

2. Интегралы по поверхностям "боковой стенки" выбраны именами границы слоя

SINTEGRAL(<integrand>,<named_boundary>,<named_layer>)

or SURF_INTEGRAL(<integrand>,<named_boundary>,<named_layer >)

Если <layer> опущен, интеграл принят по всем слоям указанной поверхности.

Интегралы этого типа могут быть далее квалифицированы, выбирая область(регион), в которой оценка должна быть сделана:

SURF_INTEGRAL(<integrand>,<named_boundary>,<named_layer>,<named_region >)

<named_region > должна быть одна из областей(регионов), ограниченных выбранной поверхностью.

3. Интегралы по полным поверхностям, ограниченым выбранными подобластями, отобраны именем области(региона) и именем слоя, как с объемными интегралами:

SINTEGRAL(<integrand>,<named_region>,<named_layer>)

or SURF_INTEGRAL(<integrand>,<named_region>,<named_layer >)

Если <named_layer > опущен, интеграл принят по всем слоям указанной поверхности.

Линейные интегралы

Операторы BINTEGRAL и LINE_INTEGRAL синонимичны и выполняют интегрирование линиям. Интеграл всегда понимается относительно расстояния по отрезку или кривой.

В настоящее время, линейные интегралы только определены только в 2-мерных проблемах. Общие трехмерные линейные интегралы еще не осуществлены.

В 2-ой декартовой геометрии, линейный интеграл тот же самый как поверхностный интеграл. В 2-ой цилиндрической геометрии, поверхностный интеграл будет содержать 2*pi*r взвешивание, в то время как линейный интеграл этого не имеет.

BINTEGRAL (<integrand >, < named_boundary >)

or LINE_INTEGRAL(<integrand>,<named_boundary>)

Граничная спецификация может быть опущена, когда полная внешняя граница подразумевается.

Линейные интегралы могут быть далее квалифицированы, определяя область(регион), в которой оценка должна быть сделана:

LINE_INTEGRAL(<integrand>,<named_boundary>,<named_region>)

<named_region> должна быть одна из областей(регионов), ограниченных выбранной границей.

2.2.7.5. Операторы отношения

Оператор Определение

= Равный

< Меньше чем

> Больше чем

< = Меньше чем или равный

> = Больше чем или равный

< > Не равный

Комбинации отношений

Оператор Определение

and Оба условия истина

or Истина любое условие

not отрицание условия (одноместный)

Оператор назначения

В дополнение к его использованию как равный оператор, прикладные описатели используют символ "=", чтобы связать значения функции и выражения с определенными названиями.

2.2.8. Выражения

Значения выражений

Прикладные описатели могут содержать выражения, содержащие один или большее количество операторов, переменных, чисел и пар круглых скобок. При нахождении значения выражения FlexPDE следует за алгебраическими правилами порядка действий, в которых выполняются сначала одноместные операторы, затем бинарные операторы в следующем порядке:

Возведение в степень

Умножение и деление

Сложение и вычитание

Относительные операторы (< <, =, =, < >, > = >,)

Относительные комбинации (and, or)

Когда выражения содержат подвыражения, включенные в пары круглых скобок, то они вычисляются сначала, без отношения к порядку любых операторов, которые предшествуют или следуют за ними. Круглые скобки могут быть вложены до любого уровня, со внутренними подвыражениями, оцениваемыми сначала и продолжением направленным наружу. Круглые скобки должны всегда использоваться в парах.

Выражения с условным значением

Прикладные описатели могут содержать условные выражения вида

IF условное подвыражение THEN подвыражение ELSE подвыражение.

Эта форма выбирает одно из двух альтернативных значений как значение выражения. Это - не процедурная альтернативная конструкция, знакомая в процедурных языках программирования.

Подвыражения THEN или ELSE, могут содержать вложенный оператор IF... THEN... ELSE (каждый ELSE свяжется с самым близким THEN).

Разделы

Title

Необязательный раздел Title(ЗАГОЛОВОК) может содержать одну литеральную строку. Когда Title присутствует, литеральная строка используется как метка заголовка для всех МОНИТОРОВ и ГРАФИКОВ.

SELECT

Раздел SELECT не является обязательным и используется, когда необходимо отменить некоторые селекторы, внутренние к программе и заданные по умолчанию. Селекторы используются, чтобы управлять ходом процесса, который решает проблему. Раздел SELECT может содержать один или большее количество селекторов и связанных с ними значений. Заданные по умолчанию селекторы были выбраны FlexPDE для оптимизирования решения широкиго диапазона задач. Раздел SELECT должен использоваться только тогда, когда FlexPDE иначе не решил бы проблему. В отличие от других элементов в описателях программы, имена собственные, используемые для селекторов, не есть часть стандартного языка. Селекторы используются FlexPDE, чтобы отладить программу в процессе разработки, и разрабатывать заказные программы для решения отельных проблем.

Селекторы, доступные пользователям:

Название Значение по умолчанию

ALIAS (< coord >) Название kоординат

Определяет дополнительную метку для графических осей.

АSPEСT 4.0

Максимальный коэффициент сжатия ячейки. В тонких слоях ячейки могут быть вытянуты

до этого предела отношения ребро /сторона.

AUTOHIST On

Заставляет графики быть модифицированными во временном порядке.

AUTOSTAGE On

Все указанные стадии будут рассчитаны без паузы между ними.

Black Оff

Весь вывод графических данных только в чернобелом режиме.

CDFGRID 51

Определяет заданный по умолчанию размер сетки вывода CDF (то есть, 51x51).

CHANGELIM 0.5 (установившегося состояния) 2.0 (нестационарные задачи)

Определяет максимальное изменение любой узловой переменной, позволенное на любом

шаге итерации Ньютона (измеренный относительно переменной нормы).

COLORCYCLE 32

Максимальное число цветных полос в проекции радуги.

CONTOURGRID 51

Спецификация разрешающей способности для контурных графиков. Фактические размеры шага вычисления будут использоваться, если они не превышают размер, подразумеваемый этой разрешающей способностью.

CONTOURS 15

Заданное число контурных уровней. Контуры выбираются так, чтобы дать "хорошую"

картинку, но число контуров не может превышать это значение.

CUBIC On

Используются кубическое базисные функции. По умолчанию - квадратичные функции.

CURVATURE_ERROR Оn

В версиях от 2.11 до 2.15, FlexPDE использовал метод кривизны для оценки ошибки.

Последующие версии используют интегральный метод по центру ячейки.

CURVATURE_ERROR селектор возвращает старый метод.

DEBUG(GRID) Оff

Показывает процесс рисования двумерной сетки.

ELEVATIONGRID 401

Размер сетки графика значения функции. Графики на границах области игнорируют это значение и используют фактические точки сети.

ERRLIM 0.001

Это - первичный контроль точности. Любая ячейка, в которой вычисленная ошибка

в зависимых переменных не превышает это значение, не будет разбита (если NODELIMIT

превышен). В неустановившихся задачах timestep будет уменьшен, если оценка

ошибка при интегрировании по времени превышает это значение. Селектор SENSITIVITY

может использоваться, чтобы изменить равновесие между временными и пространственными ошибками.

[ Обратить внимание: ERRLIM - оценка относительной погрешности в зависимых переменных.

Решение не гарантируется в пределах этой ошибки. Если это необходимо, то приходится корректировать ERRLIM или вручную устанавливать большую плотность сетки для достижения желательной точности решения.]

FIRSTPARTS Оff

По умолчанию, FlexPDE интегрирует все члены с вторым порядком по частями, создавая

поверхностные интегралы, представленные естественным граничными условиями. Этот селектор заставляет члены первого порядка также интегрироваться по частям. Использование этой опции может потребовать дополнительных членов к естественным граничным условия.

FIXDT Оff

Отключает автоматический контроль за шагом по времени timestep. Timestep установлен в значении, данным в разделе TIME.

FONT 1

Font=1 выбирает шрифт San-Serif. Font=1 выбирает шрифт Serif.

GALERKIN_ERROR Оff

До версии 2.11 FlexPDE использует интегралы Галеркина, чтобы оценить ошибки.

Последующие версии используют менее дорогие оценки кривизны. GALERKIN_ERROR селектор возвращает старый метод.

GRAY Оff

Весь вывод графических данных рисуется в шкале яркости с 5 уровнями.

GRIDARC 30 градусов

Дуги будут gridded без ячейки, превышающей этот угол. Другие коэффициенты(факторы)

могут заставить этот размер быть меньшим.

GRIDLIMIT 8

Максимальное число перестроек сеток, после которого последует предупреждение.

Пакет выполняет остановку на этом пределе.

HARDMONITOR Оff

Заставляет МОНИТОРЫ быть записанным в твердых копиях (в файлы с расширением.PGX).

HYSTERESIS 0.5

Представляет гистерезис в распаде oценок пространственных ошибки в неустановившихся задачах. Эффективная оценка ошибки включает эта дробь предыдущей эффективной оценки, добавленной в ток мгновенная оценка. Этот эффект производит lmore устойчивый regridding

в большинстве случаев.

ICCG On

Используется неполный метод Холеский-Сопряженный градиент в симметричных проблемах.

Этот метод обычно сходится намного более быстро. Если есть сбои в факторизации, то будет использоваться Orthomin метод.

INITGRIDLIMIT 5

Максимальное число перестроек сетки от начального состояния. INITGRIDLIMIT=0 запрещает усовершенствование сетки

ITERATE 500

Первичный предел числа итераций сопряженного градиента. Это - число итераций, после которого

методы сходимости(coerscion) начинают применяться. Фактический жесткий максимальный итеративный индекс - 4*ITERATE.

LINUPDATE 5

В линейных установившихся проблемах FlexPDE повторяет решение линейной системы

пока вычисленные погрешности будут ниже допуска, определяемого LINUPDATE.

LOGLIMIT 15

Диапазон данных в логарифмических графиках ограничен LOGLIMIT на порядок ниже

максимального значения данных. Это - глобальный контроль, который может быть отменен

локальным LOG (< number >) спецификатором в графической команде.

MERGE On

Позволяет объединять ячейки сетки при малой ошибке. Только ячейки, которые имеют предварительно разбиение, могут быть объединены.

MODES 0

Выбирает решение задачи на собственного значения и определяет желательное число мод.

NEWTON (2/changelim) +20

Отменяет заданный по умолчанию максимум шага в итерации Ньютона.

NGRID 10

Определяет число ячеек сетки в максимальном измерении.

NODELIMIT 500000

Определяет максимальное число узлов. Если усовершенствование сетки пробует создавать больше узлов, то будет попытка слияния ячеек, чтобы сбалансировать

ошибки поперек сетки указанного размера.

NONLINEAR AUTOMATIC

Выбирает нелинейный метод для решения (Ньютона - Raphson), даже если автоматический процесс обнаружения не хочет этого.

NONSYSMMETRIC Automatic

Выбирает несимметричный метод решения Lanczos, даже если

автоматический процесс обнаружения не хочет этого.

NOTIFY_DONE Оff

Запрашивает, чтобы FlexPDE испустил гудок и сообщение "DONE" при завершении

решения.

NOTIPS Оff

Стрелки в векторе графике составляются без стрелок - указателей. Полезно для двунаправленной графики напряжений.

NRUPDATE 1

Устанавливает максимальный величину шага в методе Ньютона - Raphson для каждого временного шага timestep в нелинейных проблемах, зависящих от времени. Значение по умолчанию (1), кажется, дает лучший баланс между стоимостью и точностью.

ORDER 2

Выбирает порядок конечной интерполяции элемента (степень базисных функций 2 или 3).

OVERSHOOT 0.001

Под-итеративный контроль сходимости. Решения с сопряженным градиентом выполнят итерации до погрешности OVERSHOOT*ERRLIM.

PAINTED Оff

Рисование заполненных цветом контурных графиков. Графики могут быть окрашены индивидуально селектором РАINT в графических модификаторах.

PAINTGRID On

Рисование заполненных цветом сеток. Цвета представляются номерами.

PLOTINTEGRATE On

Интегрирование всех пространственных графиков (по времени должны быть явно проинтегрированы).

PRECONDITION On

Используйте матрицу preconditioning в решениях с сопряженным градиентом. Значение по умолчанию - блочно - диагональная обратная матрица.

PRINTMERGE Оff

Все циклы(стадии) посылаются для записи к единственному файлу. Можно составить график времен с помощью инструкции EXPORT. По умолчанию EXPORT создает отдельный файл для каждого времени или цикла. Индивидуальный EXPORT может управляться графическими модификаторами.

QUADRATIC On

Используют квадратичные базисные функции

REGRID On

По умолчанию FlexPDE осуществляет адаптивное усовершенствование сетки. Этот селектор

может использоваться, чтобы выключить это и использовать фиксированную сетку.

SENSITIVITY 1.0

Управляет равновесием между пространственными и временными ошибками. Увеличение чувствительности требует создания более плотных пространственных сеток.

SMOOTHINIT Оff

Осуществляет умеренное начальное сглаживание для проблем, зависящих от времени. Помогает

повысите качество разрывных начальных условий.

STAGES 1

Автоматическое выполнение циклов, заданных в множестве STAGES.

STATUSMESH On

Сетка вычислений показывается в окне состояния (Оff дает только границы).

SUBSPACE MIN(2*modes, modes+8)

Выбирает измерение подпространства, где вычисляют собственные значения.

SURFACEGRID 51

Выбирает минимальную разрешающую способность для поверхностных графиков.

TCENTER 2/3

Позиционирование пространственной производной в timestep. (1/2 = Crank - Nicolson,

2/3 = Галеркин, 1 = Назад Неявный)

THERMAL_COLORS Оff

Полностью изменяет порядок цветов, используемых в маркировании графики, так чтобы красный был в вверху, вместо внизу (самый низкий спектральный цвет).

UPFACTOR 1

Множитель при модернизации (upwind) диффузионных членов.

UPWIND На

"Upwind"(модернизация) членов конвекция в исходном уравнении для переменной. В

присутствие членов конвекции, это прибавляет диффузионный член

по направлению потока, чтобы стабилизировать вычисление.

VANDENBERG Оff

Использование Vandenberg итерации Сопряженного градиента (полезно, если гиперболические системы неcходятся). Этот метод по существу решает (AtA) x = (At) b вместо Ax=b. Это возводит в квадрат число условий и замедляет сходимость, но это делает все

собственные значения достоверными, когда стандартный метод CG дает сбой.

VECTORGRID 31

Устанавливает минимальную разрешающую способность Векторных графиков.

VIEWPOINT(<x>, <y>,<angle>) Lower left, 30

Определяет заданный по умолчанию угол видимости для поверхностных (SURFACE) графиков. Угол находится в градусах. (В трехмерном случае это определяет позицию в плоскости вырезки).

2.3.3. COORDINATES (Координаты)

Необязательный раздел COORDINATES определяет координатную геометрию проблемы. Основная форма раздела:

COORDINATES <geom>

где geom может быть любой из следующих видов:

Название Значение

CARTESIAN Декартовы координаты по имени 'X' и ' Y '.

XCYLINDER Цилиндрические координаты с осевой координатой 'Z', находящейся по горизонтальной (X) графической оси, и радиальная координата 'R', находящейся по вертикальной линии (Y) графика.

YCYLINDER Цилиндрические координаты с радиальной координатой 'R', находящейся по горизонтальным (X) графической оси, и осевой координатой 'Z', находящейся по вертикальной линии (Y) графика.

CARTESIAN3 Декартовы координаты по имени 'X', 'Y' и ' Z '.

Вторая форма раздела COORDINATES позволяет переименовывать координаты:

COORDINATES

<geom> ('Xname', 'Yname' {', Zname '})

В этом случае, параметр 'Xname' переименовывает координату, находящуюся по горизонтальной графической оси, и 'Yname' переименовывает координату, находящуюся по вертикальной графической оси. 'Xname' и 'Yname' могут быть взятые в кавычки строки или названия по умолчанию. Заданные по умолчанию названия следующие:

Геометрия Эквивалентность

CARTESIAN CARTESIAN ('X', 'Y')

XCYLINDER XCYLINDER ('Z', 'R')

YCYLINDER YCYLINDER ('R', 'Z')

CARTESIAN3 CARTESIAN3 ('X', 'Y', 'Z')

Переименование координаты вызывает переопределение дифференциальных операторов. DX становится D <Xname>, и т.д. DIV, GRAD, и операторы CURL расширены правильно для обозначенной геометрии. Использование этих операторов в разделе EQUATIONS может значительно упростить запись уравнений.

VARIABLES

Раздел VARIABLES (ПЕРЕМЕННЫЕ) используется, чтобы определить и назначить названия на все первичные зависимые переменные, используемые в прикладном описателе. Все названия, появляющиеся в этом разделе будут представлены конечноэлементной аппроксимацией по прикладной сетке. Каждая переменная определяет непрерывное скалярное поле по области. Далее принимается, что каждая переменная будет сопровождаться дифференциальным уравнением в частных производных, перечисленным в разделе EQUATIONS.

При назначении имен зависимым переменным, применяются следующие правила:

1)имена переменных должны начаться с алфавитного символа. Они не могут начинаться с цифры или символа.

2)имена переменных должны быть уникальными и отличаться от символа t, который зарезервирован для переменной время.

3)имена переменных могут иметь любую длину и любую комбинацию символов, цифр и-или символов, отличных от зарезервированных слов.

4)имена переменных не должны содержать любые разделители. Составные имена могут быть сформированы с '_' символом (например temperature_celsius).

5)имена переменных не могут содержать '- ', который зарезервирован для знака "минус".

Предложение RANGE

Необязательное предложение RANGE (диапазон) может быть связано с именем переменной. Предложения RANGE имеют форму:

Variable_name (range=min, max)

Variable_name (min, max)

Variable_name (range=span)

Variable_name (span),

где

min - минимальное ожидаемое значение

max - максимальное ожидаемое значение

span - ожидаемая разность (max-min)

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: Когда предложение RANGE назначено на переменную, это устанавливает минимальный диапазон для определения норм ошибки. В процессе решения FlexPDE автоматически развернет диапазон, если проблема требует расширенного диапазона. Если заявленный диапазон слишком большой, это будет воздействовать на оценку ошибок, и точность решения будут деградировать.

SIMPLEX Modifier

Переменная может быть вынужденой смоделирована с линейным основанием, независимо от основания вычисления других переменных. Этот модификатор имеет форму

Variable_name (SIMPLEX)

В некоторых случаях выбор основания с более низким порядком для одной отобранной переменной может улучшать стабильность вычисления.

DEFINITIONS

2.3.5.1. DEFINITIONS(Определения)

Раздел DEFINTIONS используется, чтобы объявить и назначить названия на специальные постоянные, коэффициенты и функции, используемые в прикладном описателе.

При назначении названий к определениям применяются следующие правила:

1)Названия определений должны начаться с алфавитного символа. Они не могут начинать с цифры или символа.

2)Имена определений должны быть уникальными и отличаться от символа t, который зарезервирован для переменной время.

3)Названия определений могут иметь любую длину и любую комбинацию символов, цифр и символов, отличных от зарезервированных слов, координатных имен или имен переменных.

4)Названия определений не должны содержать любые разделители. Составные названия могут быть сформированы с '_' символ (например temperature_celsius).

5)Названия определений не могут содержать '- ', который зарезервирован для знака "минус".

Обычно, когда определение объявлено, то применением оператора назначения "=" задается его значение или выражение. Определения - динамические элементы и когда значение назначено, это будет только начальное значение и оно можде быть модифицировано, в случае необходимости, в соответствии с решением.

Пример:

Visc = 3.02e-4*exp (-5*Temp)

Определения могут быть встроенными в дифференциальные уравнениях в частных производных раздела EQUATIONS Они не представлены конечноэлементной аппроксимацией по сетке, но рассчитываются как необходимо в различные времена и местоположения.

Переопределение REGION параметров

Названия, введенные в разделе DEFINITIONS, можно давать, отменяя определения (некоторые или все) подраздела REGION раздела BOUNDARIES. В этом случае, величины можно брать отличными от заничений, заданными в REGION. Величины, которые полностью определены в последующих подразделах REGION, могут быть заявлены в разделе DEFINITIONS без значения.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: