Собственные значения и Модальный Анализ

FlexPDE может решать задачи на собственных значениях, включающие произвольное число уравнений. Этот тип проблемы идентифицирован появлением селектора " MODES=number" в разделе SELECT, и при помощи зарезервированного слова lambda в разделе уравнений. Селектор MODES сообщает FlexPDE, сколько режимов нужно вычислять, и LAMBDA в уравнениях определяет собственное значение.

FlexPDE использует метод итерации подпространства (см. Бач и Вильсон, " Численные методы в Конечноэлементном Анализе ", Prentice-Hall, 1976), чтобы найти для отобранного числа собственных значений наименьшее. В этом методе полная проблема проектируется на подпространство намного меньшего измерения, и собственные значения и собственные вектора этой приведенной системы находятся. Этот процесс повторяется, пока сходимость собственных значений не достигнута. Собственные векторы полной системы тогда восстанавливаются путем разложения в ряд по собственным векторам приведенной системы. Так как разложение в конечный ряд, имеется некоторая потеря точности в более высоких модах из-за ошибки отбрасывания. По этой причине, FlexPDE решает подпространство размерности min(n+8,2*n), где n - число требуемых режимов.

См. примеры на собственные значения для демонстрации использования FlexPDE.

Перемещение Собственного значения

Возможно исследовать собственные режимы, которые не соответствуют наименьшим собственным значениям, методикой перемещения собственного значения. Рассмотрите эти две системы

L (u) + lambda*u = 0

и

L (u) + lambda*u + shift*u = 0.

Эти системы будут иметь одинаковые собственные векторы, но собственные значения отличатся значением "shift". Сумма "lambda+shift" будет соответствовать собственному значению прежней системы.

Перемещение собственных значений демонстрируется в примерах "Samples|Eigenvalues|Waveguide20.pde" и "Samples|Eigenvalues|Shiftguide.pde".

3.4. Избегайте разрывов!

Это - общая тенденция в проблемах, представленных для числового решения, определять начальные условия или граничные условия как прерывистые функции, типа " при time=2 секунды, граничная температура поднята мгновенно к 200 градусам. " Немного мысли подскажет, что такие инструкции полностью искусственны. Они нарушают законы физики, и они предлагают невозможные условия для численного решения.

Изменение температуры "мгновенно" потребует бесконечного потока теплоты. Перемещать материальную среду "мгновенно" потребует бесконечной силы. В реальном мире, ничто не случается "мгновенно". Вязкость рассеивает скоростные градиенты, упругая деформация смягчает скорости смещения, коэффициент термодиффузии приглаживает температурные изменения. В некотором масштабе все изменения в природе гладкие.

В математическом виде, трансформанта Фурье ступенчатой функции - (1/частота). Это означает, что разрыв возбуждает бесконечный спектр частот, с весами, которые уменьшаются весьма медленно в более высоких частотах. "Точная" числовая модель такой системы требовала бы бесконечного числа узлов и бесконечно малых шагов времени, для удовлетворения требования дисретизации двух выборок в цикл. Любые частотные компоненты, для которых требование дисретизации не выполнено, будут смоделированы неправильно, и вызовут колебания или погрешности в решении.

Какие достижения имеются в численных решених этих проблем более чем десятилетия? Ответ в том, что искусственные численные диффузионные процессы тайно фильтровали спектр частот, включая в решения только низкочастотные компоненты. Или ответы были неправильны. Достаточно хороши для удовлетворения пользователя, и достаточно плохи для удовлетворения вычислений.

Это полезно в том контексте, чтобы обратить внимание, что эффект диффузионного члена D*div (grad (U)) должен применить ослабление 1 / (1+D*K*K) к K-му частотному компоненту U. Точно так же любой побочный эффект числовой аппроксимации, которая заглушает высокие частотные компоненты, подобен диффузионному оператору в PDE.

Мы попытались в FlexPDE устранять настолько много источников искусственного поведения решения, насколько это возможно. Автоматический контроль(управление) timestep и адаптивное перестройка сетки (gridding) - механизмы, которые пробуют точно следить за решением предложенного PDE. Разрывы не могут быть точно смоделированы, и поэтому, строго говоря, есть плохо поставленные проблемы.

Что может быть сделано?

· самая простая вещь это включить диффузионный член явно в ваше уравнение, с коэффициентом, который является достаточно большим, чтобы стабилизировать решение. Конечно, если имеется реальный распространяющийся процесс в вашей проблеме, включите и это.

· Вместо прерывистого значения условия на границе, используйте приглаженное перемещение. Часть волны синуса или супергауссиан частоты работают хорошо.

· Не начинайте нестационарные задачи с разрывом между начальными значениями и граничными значениями. Всякий раз, когда возможно, используйте условие потока на границе, которое максимально отражает физический начальный поток (см. проблему SAMPLES|TIME DEPENDENT|MISC|DIFFUSION.PDE для примера). Если Вы использовали прерывистое начальное значение, FlexPDE версия 2.03 предоставляет селектор SMOOTHINIT, который применяет очень умеренное сглаживание к начальным значениям в задачах, зависящих от времени. Этот селектор может помочь в уходе от маленького timesteps и серьезного перерегулирования в течение ранних шагов некоторых проблем.

· Функции Грина и естественные граничные условия не столь чувствителен как прямые условия на переменные, потому что они появляются в числовом решении как интегралы по некоторому интервалу, и таким образом "сглажены".

Это может быть похоже на дополнительную работу, что мы должны требовать такой фальсификации вашего чистого PDE, но альтернатива - то, что эти фальсификации все равно возникнут позади вашей спины (без вашего ведома), в неизвестных количествах и с неизвестным влиянием на ваше решение. По крайней мере на этом путь вы имеете возможность управления (контроля).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: