Векторы. Основные определения. Проекция вектора на оси.

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Свойства векторов

1) + = + - коммутативность

2) + ( + ) = ( + )+

3) + =

4) +(-1) =

5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a( + ) = a + a

8) 1× =

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой-либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Свойства проекции:

Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число.

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: