ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
МЕТОД НЬЮТОНА — РАФСОНА
Вспомним, что в формуле (5.11) мы заменяли производную разностью. Вспомним также, что оптимальное значение ξ лежало в интервале . Предположим, что для простоты вычислений мы выбрали ξ = хп. Тогда (9) приобретает следующий вид: (5.13) хп+1 находим из формулы (5.14) Нетрудно видеть, что (5.14) эквивалентно простому методу последовательных приближений где Вспомним также, что если | g' (х) | < 1, то метод сходится. Для g'(х) имеем Но поскольку f(х) подчиняется соотношению (5.2), то для х, достаточно близких к а, выражение в скобках становится малым. Поэтому итерационный метод, описываемый формулой (5.14), сходится, если 1. х0 выбрано достаточно близко к решению х = f (х). 2. Производная f"(x) не становится слишком большой. 3. Производная f'(x) не слишком близка к 1. Это и есть знаменитый метод Ньютона - Рафсона. Обычно его записывают в более привычной форме (5.15) где Таким образом, мы возвращаемся к уравнению в форме (5.1), и условия сходимости принимают следующий вид: 1. х0 выбрано достаточно близко к корню уравнения F(х) = 0. 2. Производная F"(х) не становится очень большой. 3. Производная F′(х) не слишком близка к нулю. Последнее условие означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. В следующем разделе мы вернемся к этому вопросу. Рассмотрим геометрическое толкование метода Ньютона - Рафсона. В формуле (5.13) мы выбрали точку ξ совпадающей с хп. На рис. 5.5 это соответствует тому, что угол ξ равен углу наклона касательной к у = f(х) в точке х = хп. Нахождение следующего приближения сводится при этом к тому, что проводится касательная к кривой у = f(х) в точке х = хп и отыскивается точка ее пересечения с прямой у = х. Эта точка и будет новым приближением хп+1. Чтобы найти f(хп+1), через значение хп+1 проводится вертикальная линия. После этого проводится новая касательная, точка пересечения которой с прямой у = х даст значение Рис. 5.6. Геометрическое представление метода Ньютона -Рафсона для f(х) = х.
хп+2. Последовательность операций показана на рис. 5.6, где изображен случай 0 < f'(x) < 1. Заметим, что теперь сходимость гораздо лучше, чем для простого метода последовательных приближений, изображенного на рис. 5.1. Такая быстрая сходимость типична для метода Ньютона — Рафсона, так как величина g'(х) очень мала. Если уравнение задано в форме (5.1) и используется итерационная формула (5.15), то геометрически можно представить себе ход вычислений по рис. 5.7. В этом случае отыскивается точка пересечения кривой у = F(х) с осью х. Исходя из некоторого начального приближения хп, находим соответствующее ему значение F(хп), проводим касательную к кривой у = F(х) и ищем точку пересечения этой касательной с осью х. Легко видеть, что эта точка и будет значением хп+1 из формулы (5.15), так как там и требуется Рис. 5.7. Геометрическое представление метода Ньютона — Рафсона для F (х) = 0.
провести через точку с координатами хп,F(хп) прямую с угловым коэффициентом F'(хп) и затем найти ее пересечение с осью х.
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|