Главная

Популярная публикация

Научная публикация

Случайная публикация

Обратная связь

ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:






МЕТОД НЬЮТОНА — РАФСОНА




 

Вспомним, что в формуле (5.11) мы заменяли производную разностью. Вспомним также, что оптимальное значение ξ лежало в интервале .

Предположим, что для простоты вычислений мы выбрали ξ = хп. Тогда (9) приобретает следующий вид:

(5.13)

хп+1 находим из формулы

(5.14)

Нетрудно видеть, что (5.14) эквивалентно простому методу последовательных приближений

где

Вспомним также, что если | g' (х) | < 1, то метод сходится. Для g'(х) имеем

Но поскольку f(х) подчиняется соотношению (5.2), то для х, достаточно близких к а, выражение в скобках становится малым. Поэтому итерационный метод, описываемый формулой (5.14), сходится, если

1. х0 выбрано достаточно близко к решению х = f (х).

2. Производная f"(x) не становится слишком большой.

3. Производная f'(x) не слишком близка к 1.

Это и есть знаменитый метод Ньютона - Рафсона. Обычно его записывают в более привычной форме

(5.15)

где

Таким образом, мы возвращаемся к уравнению в форме (5.1), и условия сходимости принимают следующий вид:

1. х0 выбрано достаточно близко к корню уравнения F(х) = 0.

2. Производная F"(х) не становится очень большой.

3. Производная F′(х) не слишком близка к нулю.

Последнее условие означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. В следующем разделе мы вернемся к этому вопросу.

Рассмотрим геометрическое толкование метода Ньютона - Рафсона. В формуле (5.13) мы выбрали точку ξ совпадающей с хп. На рис. 5.5 это соответствует тому, что угол ξ равен углу наклона касательной к у = f(х) в точке х = хп. Нахождение следующего приближения сводится при этом к тому, что проводится касательная к кривой у = f(х) в точке х = хп и отыскивается точка ее пересечения с прямой у = х. Эта точка и будет новым приближением хп+1. Чтобы найти f(хп+1), через значение хп+1 проводится вертикальная линия. После этого проводится новая касательная, точка пересечения которой с прямой у = х даст значение

Рис. 5.6. Геометрическое представление метода Ньютона -Рафсона для f(х) = х.

 

хп+2. Последовательность операций показана на рис. 5.6, где изображен случай 0 < f'(x) < 1.

Заметим, что теперь сходимость гораздо лучше, чем для простого метода последовательных приближений, изображенного на рис. 5.1. Такая быстрая сходимость типична для метода Ньютона — Рафсона, так как величина g'(х) очень мала.

Если уравнение задано в форме (5.1) и используется итерационная формула (5.15), то геометрически можно представить себе ход вычислений по рис. 5.7. В этом случае отыскивается точка пересечения кривой у = F(х) с осью х.

Исходя из некоторого начального приближения хп, находим соответствующее ему значение F(хп), проводим касательную к кривой у = F(х) и ищем точку пересечения этой касательной с осью х. Легко видеть, что эта точка и будет значением хп+1 из формулы (5.15), так как там и требуется

Рис. 5.7. Геометрическое представление метода Ньютона — Рафсона для F (х) = 0.

 

провести через точку с координатами хп,F(хп) прямую с угловым коэффициентом F'(хп) и затем найти ее пересечение с осью х.

 






Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных