СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ И ИХ ОШИБОК ОКРУГЛЕНИЯ

Так как метод Ньютона — Рафсона сходится гораздо быстрее, чем метод последовательных приближений, возникает вопрос, почему все же используется и тот и другой. Дело в том, что при использовании метода Ньютона — Рафсона при каждой очередной итерации требуется вычислять не только функцию, но и ее производную. Эти вычисления могут оказаться трудными, длительными или даже вообще невозможными. Например, функция f(х) может быть задана не формулой, а таблицей значений. Производная может даже не существовать в некоторых точках. В таких случаях часто применяется метод последовательных приближений или различные его модификации.

Другими словами, выбор метода зависит от конкретного вида функции f(х) или F(х).

Интересно и важно отметить тот факт, что ошибка округления не накапливается при использовании итерационных методов решения уравнений. Общая ошибка округления равна ошибке, возникшей в последней итерации, и не зависит от арифметических операций, выполнявшихся в предыдущих итерациях. Это общее свойство всех итерационных методов; оно является одним из важнейших преимуществ итерационных методов перед всеми другими. Причина того, что ошибки округления не накапливаются, ясна — каждое новое приближение, включая и предпоследнее, можно рассматривать как исходное приближение. Ошибка округления при вычислении последнего приближения зависит, таким

Рис. 5.10, Граф вычислительного процесса для метода Ньютона - Рафсона.

образом, только от арифметических операций, с помощью которых это последнее приближение получается из предпоследнего.

Граф вычислительного процесса для метода Ньютона — Рафсона изображен на рис. 5.10. Исходная ошибка в x_п отсутствует: можно считать, что х_п представляется в виде бесконечной десятичной дроби, которая содержит одни нули, начиная с некоторой цифры. При вычислении F(х_п) и F'(х_п) появляются относительные ошибки округления; назовем их соответственно г и г'. Обозначим относительную ошибку округления при делении и при вычитании соответственно через d и s. Тогда абсолютная ошибка округления при вычислении х_п+1 будет равна

.

В большинстве случаев общая ошибка определяется неточностью r и r' при вычислении F(х_п) и F' (х_п).

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: