ТОР 5 статей:

Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия

Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века

Ценовые и неценовые факторы

Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка

Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы

КАТЕГОРИИ:

Синтез оптимального приемника двоичных сигналов

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая ⇒

Радиочастотная часть любой радиотехнической системы (в том числе и системы связи) состоит из передатчика и приемника (на рис. 2 – модулятора и демодулятора). Передатчик (модулятор) формирует сигнал и передает его в канал связи. Процедура модуляция, то есть преобразования двоичных информационных символов в сигналы представляет собой сравнительно простую техническую задачу. Например, при двоичной амплитудной модуляции АМ (BASK – Binary Amplitude Shift Keying) сигнал формируется путем перемножения передаваемой двоичной последовательности λ (t) на гармоническое колебание (несущий сигнал) (рис. 3).

Рис. 3

При двоичной фазовой модуляции ФМ (BPSK – Binary Phase Shift Keying) сигнал формируется путем переключения фазы несущего колебания на π по закону передаваемой двоичной последовательности λ (t) (0 или 1) (рис. 4).

Рис. 4

При этом схема формирования двоичного сигнала выглядит так, как показано на рис. 5.

Рис. 5

Аналитически сигналы с АМ и ФМ имеют одинаковый вид

S (t) = A × λ (t) × cos(2πf_ct), (2.1)

где A – амплитуда сигнала; λ (t) – модулирующий сигнал, принимающий значение для АМ - 0 или 1, а для ФМ-1 или 1 в зависимости от значений бита передаваемой последовательности (0 или 1); f_c – несущая частота; Т – длительность передачи одного бита информации.

Мы рассмотрим только эти два простейших примера, хотя для передачи могут использоваться и другие виды модуляции, а также другие сигналы. В данном случае это не принципиально и не влияет на результат проектирования.

Далее будем полагать, что модуляция выполнена и в соответствии со значениями символов передаваемой последовательности 0 и 1 в канал связи передаются сигналы S ₀(t) или S ₁(t). Поскольку передаваемый сигнал может принимать только два значения S ₀(t) или S ₁(t), то такой сигнал называется цифровым.

При прохождении по радиоканалу на эти сигналы накладываются помехи, и на входе радиоприемного устройства будет наблюдаться некоторое колебание

U(t) = S_i(t) + n(t). (2.2)

n (t) — помеха в канале связи;

S_i (t) — один из двух возможных сигналов S ₀(t) или S ₁(t).

Теперь, когда модель формирования и прохождения сигнала по каналу связи (2.2) определена, задача синтеза приемника может быть сформулирована следующим образом:

На вход радиоприемного устройства на некотором временном интервале t Î 0,Т поступает колебание вида (2,2), представляющее собой сумму помехи n (t)и одного из двух полностью известных сигналов S ₀ (t) или S ₁ (t). Какой из сигналов был передан — неизвестно, известна лишь априорная вероятность передачи каждого из них Р ₀ и Р ₁. Требуется определить оптимальную структуру радиоприемного устройства, то есть оптимальный алгоритм обработки принимаемого колебания U (t), обеспечивающий наилучшее принятие решения о том, какой из двух сигналов S ₀ или S ₁ был передан.

Прежде чем приступать к решению задачи, то есть определять структуру оптимального приемника, естественно уточнить — какой смысл мы вкладываем в понятие — оптимальная система, оптимальный приемник. И, почему нам нужно найти именно оптимальное правило приема?

На самом деле, имея инженерный опыт и минимальные сведения из теории приема сигналов, можно предложить работоспособную схему приемника, решающего поставленную задачу. Однако всегда будет оставаться вопрос – а насколько хорошо предложенное решение, и нельзя ли предложить лучшее. А предложив лучшее решение, мы можем снова задаться вопросом – а нельзя ли сделать еще лучше?

Поэтому имеет смысл, сначала определить критерий качества и качественный показатель системы, который позволял бы судить о том, какая из систем лучше, а затем попытаться сделать наилучшую по этому критерию систему. При решении задач проектирования этот критерий называют целевой функцией проектирования.

Критерий качества должен соответствовать характеру решаемой задачи и в то же время позволять решать эту задачу аналитически. При определении критерия качества приходится в значительной степени ориентироваться на интуицию и здравый смысл. В какой-то мере это искусство. Однако, определив критерий оптимальности, и синтезировав систему, лучшую по этому критерию, мы можем утверждать, что лучшего решения в рамках выбранной модели и принятого критерия качества быть уже не может.

От выбора критерия качества (вида целевой функции проектирования) зависит очень многое при отыскании лучшего решения. Если, к примеру, в качестве критерия принять габариты приемника, и полагать лучшим приемник, имеющий минимальные размеры, то наилучшим окажется приемник с нулевыми размерами. Абсурдное решение, но вполне удовлетворяющее выбранному критерию. Поэтому еще раз подчеркнем важность правильного выбора критерия качества. Он должен, с одной стороны, быть адекватным характеру решаемой задачи, а с другой стороны – конструктивным, то есть, позволять решать задачу аналитически.

Попытаемся определить этот критерий качества. Можно обсуждать различные подходящие для решаемой задачи критерии, и в каждом из них, возможно, будет рациональное зерно. Но здравый смысл подсказывает, что при решении задачи приема сигналов, то есть определения какой из двух сигналов S ₀ или S ₁ был передан, наилучшей может считаться такая система, которая обеспечивает наименьшее число ошибок при приеме, или наименьшую вероятность ошибочных решений – Р _ОШ.

Если мы выбрали такой критерий качества, то задача синтеза наилучшего (оптимального) приемника теперь сводится к аналитическому определению Р _ОШ, как функции способа приема и отысканию такого способа приема, который бы минимизировал вероятность ошибок Р _ОШ.

Для того чтобы дальнейшие рассуждения были более понятными, введем геометрическую интерпретацию процесса передачи и приема сигналов.

Известно, что любой непрерывный сигнал S (t) (с ограниченным спектром) может быть продискретизован, и представлен в виде набора своих отсчетов { S _k }, или, что то же самое - в виде вектора S. На рисунке рис. 6. приведен пример, в котором отрезок непрерывного сигнала S (t) представляется всего тремя дискретными отсчетами S ₁, S ₂ и S ₃ которые могут быть приняты в качестве координат вектора S в трехмерном пространстве. Конец этого вектора есть некоторая точка в пространстве. Если на интервале длительности сигнала взято большее число отсчетов (N отсчетов), сигнал, соответственно, представляется точкой в N -мерной системе координат (N -мерном пространстве).

Рис. 6.

Рассмотрим в самом общем виде процесс передачи и приема сигналов.

Пару передаваемых сигналов S ₀(t) и S ₁(t) можно рассматривать как две точки S ₀ и S ₁ в некотором многомерном пространстве сигналов – рис. 7

S₀

n

S₁

Рис. 7

При передаче по каналу с помехами принятое колебание U (t), искаженное помехами, уже не будет совпадать ни с одним из этих сигналов, а может также рассматриваться как некоторая случайная точка в пространстве сигналов U - Рис. 7, лежащая на некотором расстоянии от точек S ₀ и S ₁, но скорее всего, ближе к точке S ₀ если передавался сигнал S ₀(t), или к точке S ₁, если передавался сигнал S ₁(t).

По принятому колебанию U (t) нужно принять одно из двух решений: S* = S ₀ или S* = S ₁.

В конечном счете, для этого нужно все множество U возможных значений принятого колебания U (t) разделить на две подобласти U ₀ и U ₁. К области U ₀отнесем все те значения U (t) при которых будет приниматься решение S* = S ₀. Соответственно, к области U ₁— те значения U (t), при которых принимается решение S* = S ₁.

Правило решения при этом можно записать следующим образом

S* = S₀, если U(t) Î U₀,

S* = S₁, если U(t) Î U₁. (2.3)

Если мы таким образом определили правило приема, то всякий раз, когда принятая реализация оказывается в подобласти U ₀ будет приниматься решение — S* = S ₀, и соответственно — если принятая реализация U (t) окажется в подобласти U ₁— мы примем решение S* = S ₁.

Задача определения оптимального правила приема теперь сводится к задаче оптимального разбиения пространства U всехвозможных значений принимаемого колебания на две подобласти U ₀ и U ₁.

Если бы шумы на входе приемника отсутствовали, то при передаче сигнала S ₀(t) всегда попадало бы в область U ₀ и принималось бы решение S* = S ₀, при передаче сигнала S ₁(t) — оно попадало бы в область U ₁ и принималось бы решение S* = S ₁. Однако, из-за наличия помех, может случиться так, что при передаче сигнала S ₀(t) входная реализация U (t) окажется в области U ₁и мы, естественно, примем решение S* = S ₁. Может произойти и другой случай — передан сигнал S ₁(t), но входная реализация U (t) оказалась в области U ₀, соответственно, будет принято решение S* = S ₀, т. е. ошибочное решение.

Определим вероятность таких ошибочных решений. Можно выделить два рода ошибок.

Ошибки первого рода состоят в том, что при передаче нулевого сигнала (S (t) = S ₀(t)) принимается решение о том, что на самом деле был передан первый сигнал (S* = S ₁(t)).

Ошибки второго рода состоят, соответственно, в том, что при передаче первого сигнала (S (t) = S ₁(t)) будет принято решение S* = S ₀(t).

Обозначим эти вероятности, как

Р_{ОШ 0} = Вер {S* = S₁*/S = S₀}, и

Р_ОШ₁ = Вер {S* = S₀*/S = S₁}. (2.4)

Средняя вероятность ошибочных решений зависит от вероятности посылки сигналов S ₀(t) и S ₁(t) и определяется по формуле полной вероятности, как

Р_ОШ= Р₀Р_{ОШ 0}+ Р₁ Р_{ОШ 1}. (2.5)

Итак, нам необходимо выразить Р _{ОШ 0} и Р _{ОШ 1} как функцию способа обработки и минимизировать целевую функцию проектирования - Р _ОШ подбирая соответствующий способ приема (обработки принятого колебания U (t)). Займемся решением этой задачи.

Перепишем выражения (2.4) несколько по-иному:

P _ОШ₀ = Вер { U (t) Î U ₁ / S = S ₀ },

P _ОШ₁ = Вер { U (t) Î U ₀ / S = S ₁ } (2.6)

Как следует из (2.6) - вероятность ошибки, это вероятность попадания некоторой случайной функции U (t) (некоторого случайного вектора U ) в заданную область. Следовательно, эту вероятность можно определить, как интеграл от плотности распределения U по соответствующей области.

P_{ОШ 0} = ,
P_{ОШ 1} = . (2.7)

где P (U (t) /S ₀) и P (U (t) /S ₁) – условные плотности распределения вероятностей принятого колебания U (t) при условии, что в нем содержатся сигналы S ₀(t) или S ₁(t) соответственно.

Выражение для средней вероятности ошибок (2.5) при этом запишется, следующим образом:

Р_ОШ = . (2.8)

Прибавим и вычтем в правой части (2.8) слагаемое ± ,

тогда

Р_ОШ=
= (2.9)
.

Наша задача – минимизировать Р _ОШ. Но это - то же самое, что максимизировать выражение в фигурных скобках (2.9):

max (2.10)

Рассмотрим выражение (2.10). Что в этом выражении можно изменять, чтобы добиться его максимума? Априорные вероятности передачи сигналов S ₀(t) и S ₁(t) - Р ₀ и Р ₁нам заданы. Плотности распределения вероятностей P ( U / S ₀) и P ( U / S ₁) определяются видом передаваемых сигналов и характером шумов, действующих в канале связи, и от нас также не зависят. Единственное, чем мы можем управлять – это выбором области интегрирования U ₁.

А что такое область U ₁? Это область значений принятого колебания, при попадании U (t) в которую принимается решение S* = S ₁. Соответственно, если U (t) не попадает в эту область - принимается решение S* = S _0. То есть выбор области U ₁ – это правило разделения области всех возможных значений принятого колебания U на подобласти U ₀ и U ₁ (смотри рис. 1.7).

Действительно, если передвинуть границу раздела между U ₀ и U ₁, например – вверх, можно заметить, что явно возрастет вероятность ошибок первого рода, состоящих в том, что при передаче нулевого сигнала (S (t) = S ₀(t)) будет принято решение о том, что был передан первый сигнал (S* = S ₁(t)). Если же сместить эту границу вниз, то возрастет вероятность ошибок второго рода состоящих, соответственно, в том, что при передаче первого сигнала (S (t) = S ₁(t)) будет принято решение S* = S ₀(t). То есть, по-видимому существует некоторое оптимальное положение границы раздела между U ₀ и U ₁, при котором вероятность ошибок будет иметь минимальную величину (целевая функция проектирования достигнет экстремума).

Итак, нужно выбрать область интегрирования U ₁ таким образом, чтобы интеграл в (2.10) был максимален. Это условие удовлетворяется в том случае, если в качестве области интегрирования U ₁ выбрать область, в которой подынтегральная функция в (2.10) положительна - рис. 8

φ(u)

u

Рис. 8

Отсюда непосредственно следует оптимальное правило принятия решения о том, что S* = S ₀ (t)

P₀ P(U(t)/S₀) ³ P₁ P(U(t)/S₁), (2.11)

соответственно, принятие решения о том, что S* = S ₁ (t) будет производиться при выполнении условия

P₀P(U(t)/S₀) < P₁P(U(t)/S₁). (2.12)

Таким образом, без каких либо ограничений на возможные решения и только на основании принятой модели и критерия качества (целевой функции проектирования) аналитически пределен алгоритм работы оптимального двоичного приемника. Его структура будет выглядеть, как рис. 1.9.

Рис. 9

Итак, оптимальный двоичный приемник должен:

по принятому колебанию U (t) сформировать пару условных плотностей вероятностей P (U (t) /S ₀) и P (U (t) /S ₁), умножить их на соответствующие априорные вероятности передачи сигналов P ₀и P ₁ и сравнить полученные результаты. Решение выносится в пользу того сигнала, для которого полученный результат больше.

Обычно априорная вероятность передачи сигналов S ₀ и S ₁ (“нулей” и “единиц”) одинакова - P ₀= P ₁= 1/2. Тогда выражения (2.11 – 2.12) несколько упрощаются

. (2.13)

Таким образом, получено достаточно простое правило приема, однако остается вопрос – в чем состоит формирование условных плотностей вероятностей P (U (t) /S ₀) и P (U (t) /S ₁), то есть какими техническими устройствами может быть решена эта задача?

Контрольные вопросы:

1. Зачем в радиотехнических системах связи производится

модуляция?

2. В чем состоит процедура модуляции?

3. Какие виды цифровой модуляции вы знаете?

4. Как выглядит сигнал на выходе двоичного амплитудного модулятора?

5. Как выглядит сигнал на выходе двоичного фазового модулятора?

6. Как выглядит простейшая модель радиоканала?

7. Сформулируйте задачу синтеза оптимального двоичного приемника.

8. Поясните понятие ”сигнал – точка в пространстве”.

9. Поясните геометрическую интерпретацию передачи и приема сигналов в канале с помехами.

10. Какие ошибки возможны при передаче двоичного сигнала по каналу с помехами?

11. Как зависит вероятность ошибок от способа разбиения пространства принимаемых сигналов на две области?

12. Как определить вероятность ошибок первого и второго рода при приеме двоичных сигналов?

13. От чего зависит суммарная вероятность ошибок при приеме двоичных сигналов?

14. Как выбирается область интегрирования в выражении (2.10), чтобы обеспечить экстремум целевой функции проектирования?

15. Как выглядит схема синтезированного приемника, обеспечивающего минимум вероятности ошибок при приеме двоичных сигналов?

16. Дайте словесное описание процедуры оптимального приема двоичных сигналов.

17. Как изменится схема двоичного приемника, если априорная вероятность передачи 0 и 1 не одинакова?

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 Следующая ⇒

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

vikidalka.ru - 2015-2024 год. Все права принадлежат их авторам! Нарушение авторских прав | Нарушение персональных данных