ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Кинетическая энергия вращающего тела. Момент инерцииРассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных объемов, масса каждого из которых равна Dmi и радиус вращения ri (Рис.3).
Кинетическая энергия i – го элемента равна (1) Кинетические энергии различных элементов будут разными, т.к. различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов: (2) или , (3) т.к. линейная скорость вращения связана с угловой скоростью ui=wri. Поскольку угловая скорость w одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы: . (4) Величина называется моментом инерции твердого тела, а - моментом инерции одного элемента (материальной точки), размерами которого можно пренебречь по сравнению с его радиусом вращения. Момент инерции тела равен сумме моментов инерции элементов, составляющих это тело: . (5) Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела принимает вид: . (6) Момент инерции не зависит от скорости вращения тела и характеризует инертность тела при вращательном движении: чем больше I, тем большую энергию надо затратить для достижения заданной угловой скорости. Это следует из формулы (6). Значение момента инерции определяется не только массой тела, но и ее распределением относительно оси вращения. Для тонкостенного полого цилиндра (толщина которого много меньше его радиуса R) момент инерции, согласно (5), будет равен: . (7) В случае непрерывного распределения массы сумма в определении (5) сводится к интегралу: , (8) где dm – масса материальной точки тела, r - плотность в определенной точке тела, dV – элементарный объем. Интегрирование производится по всему объему тела. В качестве примера рассчитаем момент инерции сплошного цилиндра высотой h относительно его геометрической оси. Для этого разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r (рис.4).
Так как радиусы точек бесконечно тонкого цилиндра равны между собой, то его момент инерции можно рассчитать по формуле: , (9) где dm – масса всего элементарного цилиндра. Выразим массу полого элементарного цилиндра через его объем dV и плотность r: . (10) Следовательно, момент инерции элементарного цилиндра равен: , (11) а всего цилиндра: , (12) где R – радиус цилиндра. Производя интегрирование и подставив пределы, получим: . (13) Но phR2 - объем цилиндра, а его масса m=rV=phrR2. Тогда его момент инерции равен: . (14) Без расчета приведем формулы моментов инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр: (15) и для однородного стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через его центр: , (16) где l – длина стержня, R – радиус шара, m – массы этих тел. Для расчета момента инерции тела относительно оси, не проходящей через его центр масс, нужно воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: Момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния, между осями: . (17) Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|