Группа динамических систем 5 страница

Перемена никак не сказалась на деятельности многих ученых-практиков: физиков, занимавшихся изучением частиц, неврологов и даже математиков. Они продолжали исследования в рамках своих дисциплин. Тем не менее в умы их была заронена идея о существовании феномена хаоса: они знают, что удалось истолковать некоторые сложные явления, а иные, вероятно, нуждаются в переосмыслении. Ученые, которые вглядывались в течение химических реакций, или наблюдали за жизнью насекомых в ходе трехлетнего эксперимента, или моделировали изменения температуры воды в океане, уже не могли, как раньше, игнорировать внезапные колебания или отклонения. Для некоторых это означало лишь дополнительные трудности. Но, будучи прагматиками, ученые прекрасно знали, что на исследования в этой сфере, которую с трудом можно назвать математикой, федеральное правительство и исследовательские центры корпораций готовы ассигновать средства, и все больше и больше специалистов понимали, что хаос позволяет продолжить работу с информацией, отложенной в долгий ящик потому, что она выглядела чересчур странной. Обособление научных дисциплин казалось им все более досадным препятствием; один за другим ученые осознавали, что изучать обособленные от целого части бесполезно. Для них хаос знаменовал конец редукционизма в науке.

Непонимание, неприятие, гнев, одобрение — целая гамма эмоций была выплеснута на тех, кто поддерживал изучение хаоса с самого начала. Джозеф Форд из Технологического института Джорджии, в Атланте, вспоминал, как в 70-х годах, читая лекцию группе специалистов по термодинамике, упомянул о хаотическом поведении, которое просматривалось в уравнении Даффинга, хрестоматийной модели простого осциллятора, подверженного трению. Для самого Форда присутствие хаоса в указанном уравнении было весьма любопытным фактом, который не вызывал сомнений, хотя статья о нем была опубликована в журнале «Письма в „Физическое обозрение“» лишь через несколько лет. Но с таким же успехом Форд мог поведать собранию палеонтологов о наличии перьев у динозавров — им было лучше знать.

«Когда я обмолвился об этом, аудитория — Господи Боже! — буквально взорвалась. Я услышал что-то вроде: „Мой отец изучал это уравнение, дед занимался им, и почему-то они не обнаружили там такого, о чем рассказываете нам вы!“ Заявляя, что природа сложна, вы должны быть готовы к сопротивлению. Мне была непонятна такая враждебность».

За окном медленно садилось тусклое зимнее солнце. Форд, уютно расположившись в своем кабинете, потягивал содовую из огромной кружки с кричащей надписью «Хаос». Его младший коллега Рональд Фокс рассказывал о метаморфозе, приключившейся с ним после покупки компьютера «Apple II» для сына. В то время ни один уважающий себя физик не приобрел бы эту модель для работы. Прослышав о том, что Митчелл Файгенбаум обнаружил всеобщие законы, управляющие поведением систем обратной связи, Фокс рискнул написать короткую программу, которая позволила бы разглядеть их особенности на дисплее компьютера. Он смог наблюдать на экране абсолютно все: похожие на вилы бифуркации, устойчивые линии, разветвляющиеся сначала на две, потом на четыре, затем на восемь, появление самого хаоса, а внутри него — поразительный геометрический порядок. «За пару дней всю работу Файгенбаума можно повторить», — отметил Фокс. Компьютерный эксперимент убедил его, как и других, усомнившихся в правоте опубликованных аргументов.

Некоторые ученые забавлялись программами какое-то время, а потом оставляли их, другие же входили во вкус подобных игр. Фокс относился к числу тех, кто знал о пределах стандартной линейной науки. Он сознавал, что по привычке отодвигает в сторону сложные нелинейные детали. Так в конце концов поступали все физики, говоря себе в оправдание: «Придется лезть в справочник специальных функций, а не хочется. И еще меньше хочется программировать эту задачу на компьютере. Я слишком хорош для этой рутины».

«Общая картина нелинейности медленно, но верно привлекала внимание множества людей, — вспоминал Фокс. — Все узревшие ее извлекали из этого пользу. Вы рассматриваете ту же проблему, которую изучали раньше, неважно, какой дисциплине она принадлежит. Прежде, дойдя до определенной черты, вы были вынуждены остановиться, потому что проблема становилась нелинейной. Сейчас, узнав, под каким углом ее рассматривать, вы возвращаетесь назад».

Форд говорил: «Если та или иная область начинает развиваться, многие понимают: области этой есть что предложить им; если они пересмотрят свой подход к исследованиям, вознаграждение может оказаться немалым. Для меня хаос подобен мечте. Он дает шанс. Если рискнешь сыграть в эту игру, можешь обнаружить золотую жилу».

И все же ученые не могли определиться с понятием «хаос». Каждый предлагал свое толкование:

Филип Холмс, седобородый математик и поэт из Корнелла, — сложные апериодичные динамические системы (обычно с малым числом измерений);

Хао Бай-линь, китайский физик, собравший много основополагающих работ о хаосе в один справочник, — тип порядка, которому несвойственна периодичность, а также: быстро развивающаяся область исследований, в которую внесли важный вклад математики, физики, специалисты по гидродинамике, экологи, или: недавно признанный и повсеместно встречающийся класс естественных явлений;

X. Брюс Стюарт, ученый, посвятивший себя прикладной математике и работающий в Брукхевенской национальной лаборатории на Лонг-Айленде, — явно беспорядочное, повторяющееся поведение в простой детерминистской системе, похожей на работающие часы;

Родерик В. Дженсен из Йельского университета, физик-теоретик, изучающий возможность квантового хаоса, — иррегулярное и непредсказуемое поведение детерминистских нелинейных динамических систем;

Джеймс Кручфилд из Сайта-Круса, — динамика с положительной, но ограниченной метрической энтропией, что в переводе с языка математики звучит следующим образом: поведение, которое порождает информацию (усиливает малые неопределенности), но не является полностью предсказуемым;

и Форд, объявивший себя проповедником хаоса, — динамика, сбросившая наконец оковы порядка и предсказуемости… системы, каждую динамическую возможность которых теперь можно свободно рассматривать… разнообразие, которое будоражит, богатство выбора, изобилие вероятностей…

Джон Хаббард, изучая итерированные функции и бесконечные фрактальные множества системы Мандельбро, счел «хаос» слишком бесцветным названием для результатов своей работы, поскольку такой термин подразумевает наличие случайности. Хаббард же видел главное в том, что простые процессы в природе могли порождать величественные конструкции огромной сложности без всякой случайности. Все инструменты, необходимые для кодировки, а затем и раскрытия богатейших, как человеческий мозг, структур, заключались в нелинейности и обратной связи.

Другим специалистам, вроде Артура Уинфри, в чьи научные интересы входила глобальная топология биологических систем, название «хаос» казалось слишком узким. Оно включало в себя простые системы, одномерные структуры Файгенбаума, двухмерные и трехмерные странные аттракторы Руэлля, а также аттракторы с дробным числом измерений. С точки зрения Уинфри, хаос с малым числом измерений представлял собой особый случай. Сам ученый интересовался законами многомерной сложности, будучи убежден, что они существуют. Слишком многие из явлений Вселенной, казалось, находятся вне досягаемости хаоса с небольшим числом измерений.

В журнале «Нейчур» шла непрекращающаяся дискуссия о том, следует ли климат Земли странному аттрактору. Экономисты пытались распознать странные аттракторы в трендах фондовой биржи, но пока безуспешно. Ученые, посвятившие себя динамике, надеялись использовать инструментарий хаоса для объяснения наиболее ярких проявлений турбулентности. Альберт Либхабер, работавший уже в Университете Чикаго, поставил свои элегантные эксперименты на службу турбулентности, создав емкость с жидким гелием, которая размерами в тысячи раз превосходила крохотную ячейку 1977 г. Никто не знал, обнаружатся ли простые аттракторы в таких опытах, порождающих беспорядок как в пространстве, так и во времени. Бернардо Губерман заявлял по этому поводу: «Если бы вы опустили детектор в бурную реку и сказали: „Глядите, вот странный аттрактор с малым числом измерений!“, — мы смотрели бы на это чудо, сняв шляпы».

Хаос стал совокупностью идей, убедившей ученых в том, что все они — участники одного начинания. И физики, и биологи, и математики — все поверили, что простые детерминистские системы могут порождать сложность, а системы, слишком сложные для традиционной математики, подчиняются простым законам. Поверили они также и в то, что главная их задача, независимо от сферы деятельности, состояла в постижении самой сложности.

«Давайте еще раз приглядимся к законам термодинамики, — писал Джеймс Е. Лавлок, автор модели „мира маргариток“. — Действительно, с первого взгляда их смысл кажется равнозначным предостережению, начертанному на вратах Дантова ада… Однако здесь есть одно „но“…»

Второй закон — та плохая новость из мира науки, которая постоянно дает о себе знать в далеких от этого мира областях. Все вокруг стремится к беспорядку. Любой процесс перехода энергии из одной формы в другую должен сопровождаться потерей некоторой ее части в виде теплоты, так как стопроцентная эффективность преобразования невозможна. Вселенная подобна улице с односторонним движением. Энтропия должна постоянно возрастать как в самой Вселенной, так и в любой гипотетической отдельно взятой системе внутри нее. Как ни формулируй второй закон, ничего особенно привлекательного не получится. В термодинамике так оно и есть. Но в областях интеллектуальной деятельности, далеких от науки, второй закон живет собственной жизнью, принимая на себя ответственность за разделение общества, экономический спад, снижение культурного уровня и множество других проявлений эпохи упадка. Кажется, что ныне такие вторичные, метафорические воплощения второго закона толкуются особенно неверно. В нашем мире процветает сложность, а тем, кто надеется с помощью науки получить общее представление о свойствах природы, лучше послужат законы хаоса.

Каким-то образом по мере движения Вселенной к конечному равновесию в лишенном характерных черт пекле максимальной энтропии появляются удивительные структуры. Вдумчивые физики, соприкасающиеся с действием термодинамики, понимают, насколько волнующим является вопрос, который один из них сформулировал следующим образом: «Как бесцельный поток энергии может привносить жизнь и сознание в наш мир?» Решить проблему помогает весьма расплывчатое понятие энтропии, вполне приемлемое и хорошо определенное для целей термодинамики, когда речь идет о нагреве и температуре, однако чертовски сложное для того, чтобы его можно было ассоциировать с мерой беспорядка. Ученые и так сталкиваются с трудностями, вычисляя меру порядка в воде и стараясь понять, как образуются кристаллические структуры при ее замерзании, сопровождающемся диссипацией энергии. И уж никак не подходит термодинамическая энтропия для определения изменяющейся степени оформленности и бесформенности в процессе создания аминокислот и микроорганизмов, самовоспроизведения растений и животных, сложных информационных систем вроде мозга. Безусловно, эти эволюционирующие островки упорядоченности должны подчиняться второму закону, важным постулатам созидания или чему-то еще.

Природа создает разнообразные объекты. Одни из них упорядочены в пространстве, но беспорядочны во времени, другие — наоборот. Некоторые системы являются фрактальными, обнаруживая структуры, повторяющие самих себя в различных масштабах, другие порождают устойчивые или колеблющиеся состояния. Построение подобных объектов превратилось в раздел физики и прочих естественных наук, позволяя ученым моделировать скопления частиц в кластерах, похожее на извилистые трещины распространение электрических разрядов, рост кристаллов при образовании льда и остывании металлических сплавов. Динамика таких процессов кажется азбучной — изменение формы в пространстве и времени, — но только в наше время появились инструменты, сделавшие возможным ее постижение. И теперь мы вправе спросить у физика: «Почему снежинки не похожи друг на друга?»

Кристаллики льда образуются в турбулентном воздушном потоке, который заключает в себе симметрию и случайность, особую прелесть неопределенности в шести направлениях. По мере того как вода замерзает, у кристаллов появляются тонкие кончики, которые постепенно увеличиваются; их границы становятся неустойчивыми; по краям возникают новые острия. Формирование снежинки подчиняется поразительно утонченным математическим закономерностям. Казалось невозможным предсказать, насколько быстро «вырастет» кончик кристалла, насколько узким он окажется или как часто будет разветвляться. Целые поколения ученых делали наброски и составляли каталоги образов: пластинок и столбцов, кристаллов и поликристаллов, игл и древовидных отростков. За неимением лучшего подхода авторы научных трудов упражнялись в классификации кристаллов.

Теперь уже известно, что рост окончаний кристалла, дендритов, сводится к проблеме нелинейных неустойчивых свободных границ, в том смысле, что модели должны отслеживать динамические изменения сложных извилистых границ. Когда процесс отвердения идет от поверхности внутрь кристалла, как в ледяном желобе, граница, как правило, остается стабильной и плавной; скорость ее формирования определяется тем, насколько стремительно из стенок уходит теплота. Но когда кристалл отвердевает с сердцевины, изнутри, как это происходит в снежинке, когда она захватывает молекулы воды, паря в насыщенном влагой воздухе, процесс становится нестабильным. Любой отрезок контура снежинки, «опередивший» соседние, получает преимущество, захватывая большее количество водяных молекул, и поэтому растет гораздо быстрее — обнаруживается так называемый эффект громоотвода. Образуются новые ответвления, от которых, в свою очередь, отпочковываются более мелкие.

Трудность заключалась в том, чтобы решить, какие из множества задействованных в процессе образования снежинки физических сил следует принять во внимание, а какими вполне можно пренебречь. Долгое время считалось, что наиболее важным является рассеивание теплоты, высвобождающейся при замерзании воды. Но физическая природа тепловой диффузии не могла до конца объяснить те образы, которые наблюдали ученые, рассматривая снежинки под микроскопом или выращивая их в лаборатории. Не так давно был разработан метод, позволяющий учесть иной процесс, а именно поверхностное натяжение. Сердцевина новой модели снежинки являет собой самую сущность хаоса: хрупкий баланс между стабильностью и неустойчивостью, мощное взаимодействие сил атомарного и обычного, макроскопического уровней.

Там, где рассеивание теплоты создает преимущественно неустойчивость, поверхностное натяжение порождает стабильность. Действие этой силы ведет к тому, что вещество приобретает более плавные, похожие на стенки мыльного пузыря, очертания, поскольку для создания грубо очерченных поверхностей требуется энергия. Баланс указанных тенденций находится в зависимости от размера кристалла. В то время как рассеивание является по преимуществу крупномасштабным, макроскопическим процессом, поверхностное натяжение сильнее действует на микроскопическом уровне.

Традиционно допускалось, что для целей практики можно пренебречь действием поверхностного натяжения, поскольку оно очень незначительно. Но это не совсем верно. Происходящее в ничтожных масштабах могло сыграть решающую роль. Именно на микроуровне поверхностные эффекты обнаружили бесконечную чувствительность к молекулярной структуре отвердевающего вещества. В случае со льдом преобладание широко известной шестилучевой формы снежинки диктуется естественной симметрией молекул. К своему изумлению, ученые выяснили, что сочетание стабильности и неустойчивости усиливает микроскопический процесс, создавая почти фрактальное кружево, из которого и получаются снежинки. Причем математическое описание процесса дали не те, кто изучал атмосферу, а физики-теоретики и металлурги. Последними руководил свой интерес: молекулярная симметрия металлов различна, а значит, различна и форма характерных кристаллов, которые определяют прочность сплава. Но математика здесь та же, ибо законы формирования таких моделей универсальны.

Сильная зависимость от начальных условий служит целям созидания, а не разрушения. Пока растущая снежинка летит к земле, с час или около того паря в токах воздуха, ветвление ее лучиков в каждый конкретный момент зависит от таких факторов, как температура, влажность и загрязнение атмосферы. Шесть кончиков одной-единственной снежинки, которая занимает в пространстве не более миллиметра, подвергаются воздействию одной и той же температуры, а поскольку законы роста и развития детерминистские по своей сути, в снежинке появляется близкая к идеалу симметрия. Но природа турбулентного воздушного потока такова, что ни одна снежинка не повторяет маршрут предыдущей. В итоге конечная форма снежного кристалла отображает все изменения погодных условий, действию которых он подвергался, а количество их комбинаций может быть безграничным.

Физики любят повторять, что снежинки — неравновесный феномен. Это продукт дисбаланса в перетекании энергии от одного фрагмента природы к другому. Благодаря такому перетеканию на контуре кристалла появляется острие, потом целое множество ответвлений, которые, в свою очередь, превращаются в сложную, невиданную структуру. Открыв, что неустойчивость такого рода подчиняется всеобщим законам хаоса, ученые смогли применить те же методы ко множеству проблем физики и химии и теперь считают, что подошла очередь биологии. Это отчасти подсознательное ощущение. Наблюдая за компьютерным моделированием роста дендритов, ученые воображают морские водоросли, оболочки клеток, делящиеся и развивающиеся организмы.

К настоящему времени открыто множество путей изучения хаоса, начиная с невидимых микроскопических частиц и заканчивая доступной глазу сложностью. В математической физике теория бифуркаций Файгенбаума и его коллег получила распространение среди ученых Соединенных Штатов Америки и Европы. В абстрактных областях теоретической физики положено начало исследованию новых проблем, таких как еще не решенный вопрос о квантовом хаосе: приемлет ли квантовая механика хаотический феномен механики классической? Изучая движение жидкостей, Либхабер соорудил гигантскую емкость с гелием, в то время как Пьер Хоэнберг и Гюнтер Алерс занялись анализом распространения причудливых волн конвекции. В астрономии специалисты по хаосу создают необычные модели гравитационной неустойчивости, чтобы истолковать происхождение метеоритов — необъяснимое выталкивание астероидов из области Солнечной системы, расположенной за орбитой Марса. Биологи и физиологи используют физику динамических систем для изучения иммунной системы человека с ее миллиардами компонентов и человеческого мозга, обладающего способностью к познанию, воспроизведению и распознаванию объектов. Они также размышляют над эволюцией в надежде отыскать всеобщие механизмы адаптации живых существ.

«Эволюция — это хаос с обратной связью», — утверждал Джозеф Форд. Да, Вселенная воплощает в себе беспорядочность и диссипацию. Но беспорядочное, заключающее в себе некую тенденцию, может порождать удивительную сложность.

«Бог играет в кости со Вселенной, — таков был ответ Форда на известный вопрос Эйнштейна, — не брезгая, впрочем, обманом. И сейчас главная цель физики состоит в том, чтобы выяснить, какими правилами руководствуется Всевышний, а затем использовать их в собственных целях».

Такие идеи двигают вперед коллективную научную инициативу. И все же ни философия, ни доказательства, ни опыты не влияют на отдельных ученых, которых наука должна прежде всего и всегда обеспечивать пригодным для работы инструментарием. В некоторых лабораториях традиционные методы уже изживают себя, дорогое оборудование не оправдывает возложенные на него надежды. Обычная наука, как выразился Кун, «сбилась с пути, и ей больше не удается обходить аномальные явления». Веяния хаоса не могли возыметь влияния на каждого ученого, пока метод новой дисциплины не доказал свою необходимость.

В каждой области есть свои примеры. В экологии таковым стала деятельность Уильяма М. Шаффера, последнего из учеников Роберта Макартура, лидера этой дисциплины в 1950-60-х годах. Макартур выработал понятие о природе, которое стало прочной основой идеи естественного баланса. Построенные ученым модели предполагали, что существуют определенные состояния равновесия, возле которых колеблются популяции растений и животных. С точки зрения Макартура, балансу в природе присуще то, что можно назвать почти моральным качеством: состояния равновесия в его моделях обеспечивали наиболее рациональное использование пищевых ресурсов, при котором потери минимальны. Природа добра, если оставить ее в покое.

Два десятилетия спустя последний студент Макартура понял, что экология, базирующаяся на идее равновесия, обречена. Общепринятые модели, с присущим им уклоном в сторону нелинейности, не оправдали ожиданий. Природа куда более сложна. Вместо равновесия ученый увидел хаос, «такой живой и немного пугающий». Хаос способен подорвать самые устоявшиеся предположения экологов, поведал он коллегам. «То, что мы в нашей области считаем основными понятиями, подобно легкой дымке перед яростным напором бури — в данном случае настоящего нелинейного шторма».

Шаффер использует странные аттракторы для исследования эпидемиологии детских болезней, таких как корь и ветряная оспа. Собрав данные сначала по Нью-Йорку и Балтимору, потом Абердину, Шотландии, по всей Англии и Уэльсу, он построил динамическую модель, напоминающую маятник, который одновременно подвергается воздействию двух противодействующих сил. Считалось, что каждый год число заболевших увеличивается из-за распространения инфекции среди детей, начинающих учебный год, но рост его сдерживается естественной сопротивляемостью организма. Модель Шаффера предсказывает совершенно иную динамику распространения данных заболеваний. Ветряной оспе присуща периодичность. Корь, согласно модели, должна распространяться хаотично. Оказалось, что реальность точно соответствует прогнозу Шаффера. Эпидемиологу, который придерживался традиционных взглядов, изменения числа заболевших корью в течение года представлялись необъяснимыми, неупорядоченными и случайными. Шаффер, применив методику реконструкции фазового пространства, демонстрирует, что эпидемия кори подчиняется странному аттрактору, фрактальная размерность которого составляет около 2,5.

Шаффер вычислил показатели Ляпунова и построил сечения Пуанкаре. «Будет лучше, — говорит он, — если вы посмотрите на изображения, откуда буквально выскакивает сделанный мной вывод, и промолвите: „Господи, ведь это одно и то же!“» И хотя аттрактор является хаотичным, в силу детерминистской природы самой модели возможна некоторая предсказуемость. Если в течение года заболеваемость корью была высока, последует ее сильное снижение. Если уровень заболеваемости был средним, можно ожидать лишь незначительного его изменения. Труднее всего предсказать, на какой год выпадет максимальное число заболевших. Модель Шаффера позволила прогнозировать, какое влияние окажет на динамику заболеваемости массовая вакцинация, чего не могла предугадать традиционная эпидемиология.

Научные коллективы и работающие в одиночку специалисты по-разному воспринимают идеи хаоса, и в каждом случае на то есть свои особые причины. Для Шаффера, как, впрочем, и многих других, переход от традиционной науки к хаосу оказался неожиданным. Именно таким, как он, был адресован пламенный призыв Роберта Мэя в 1975 г. Между тем Шаффер, прочитав статью Мэя, не заинтересовался ею, решив, что математические идеи слишком далеки от нужд практической экологии. А ведь именно Шаффер, хорошо ориентирующийся в экологии, мог по достоинству оценить воззрения Мэя. Однако его взгляду предстали одномерные модели, и он подумал: «Какое отношение могут они иметь к непрерывно меняющимся сложным системам?» Когда коллега посоветовал ему познакомиться с работой Лоренца, Шаффер, нацарапав выходные данные статьи на клочке бумаги, благополучно забыл о ней.

Годы спустя Шаффер жил в пустыне, окружающей город Тусон, что в штате Аризона. На лето он перебирался севернее, в горы Санта-Каталина. Здесь, в царстве колючего кустарника, жара переносится легче, земля не так пышет жаром, как на пустынных просторах. В июне и июле, между буйством весенних красок и сезоном летних дождей, Шаффер и его аспиранты наблюдали за пчелами и цветами чапараля. Исследования этой экологической системы представлялись несложными, несмотря на ежегодно происходящие в ней метаморфозы. Шаффер подсчитывал число пчел на каждом стебле, с помощью пипетки замерял количество пыльцы на цветах и анализировал собранные данные с помощью математики. Шмели соперничали с медоносными пчелами, а последние, в свою очередь, с пчелами-плотниками. Ученый создал весьма убедительную модель, объяснявшую колебания в их популяциях.

К 1980 г. он понял: что-то идет не так, разрушая его модель. Выяснилось, что ключевая роль принадлежала виду, который не был учтен при построении модели, — муравьям. Некоторые коллеги ученого подозревали, что все дело в необычной зимней погоде, другие — в летней или прочих неучтенных факторах. Шаффер принялся обдумывать, как бы учесть дополнительные параметры. Все же ученый казался удрученным. Его аспиранты утверждали, что тем летом он выглядел мрачным и напряженно работал.

Потом все изменилось. Случайно обнаружив препринт статьи о химическом хаосе в сложном лабораторном эксперименте, Шаффер почувствовал, что ее авторы столкнулись с тем же явлением, что и он сам. Выявить и описать десятки продуктов реакции в пробирке оказалось так же невозможно, как и учесть все многообразие видов в горах Аризоны. Все же химикам удалось достичь успеха там, где эколог потерпел крах. Шаффер принялся читать о реконструкции фазового пространства, познакомился наконец с работами Лоренца, Йорка и других исследователей. Университет Аризоны выделил средства на серию лекций «Порядок внутри хаоса». Читать их пригласили Гарри Суинни, а он мог многое рассказать о практических опытах. Когда Суинни объяснил, что вызывает хаос в химии, продемонстрировал странный аттрактор и заявил, что «это реальные данные», Шаффер покрылся холодным потом.

«Внезапно я понял, что это судьба», — вспоминал позже Шаффер, которому предстоял год академического отпуска. Он отозвал свою заявку из Национального научного фонда, куда обращался с просьбой о финансировании, и начал все снова. Высоко в горах Аризоны популяция муравьев росла и уменьшалась, пчелы с жужжанием кружились в воздухе, облака медленно плыли по небу, а Шаффер постигал новую науку. Он больше не мог работать как прежде.

* Компьютерная программа, воспроизводящая систему Мандельбро, нуждается в разъяснении нескольких существенных деталей. Главный ее механизм состоит в том, что выбирается начальное комплексное число и к нему применяется арифметическое правило. Для рассматриваемой ниже системы правило таково: z → z ² + с, где z начинается с нуля, а с представляет собой комплексное число, соответствующее тестируемой точке. Итак, возьмем нуль, умножим его на самого себя, прибавим начальное число; взяв результат (начальное число), умножим его на самое себя и прибавим начальное число; возьмем новый результат, опять умножим его на самого себя и прибавим начальное число. Арифметика с комплексными числами ведет нас прямо вперед. Комплексное число состоит из двух частей, например: 2 + Зi (местоположение точки: 2 к востоку и 3 к северу на комплексной плоскости). Чтобы сложить два комплексных числа, надо лишь сложить действительные части для получения новой действительной части и мнимые — для получения новой мнимой части:

Чтобы перемножить два комплексных числа, нужно умножить каждую часть одного из них на каждую часть другого (но правилам перемножения двучленов) и сложить получившиеся четыре результата. Поскольку і, умноженное на самое себя, дает -1, то в силу первоначального определения мнимых чисел один член результата переходит в другой:

Чтобы прекратить движение по петле, программа должна отслеживать текущий итог. Если результат стремится к бесконечности, все более и более удаляясь от центра плоскости, выбранная точка не принадлежит к системе. В том случае, когда итог превышает 2 или становится меньше -2 либо в действительной, либо в мнимой части, результат, бесспорно, стремится к бесконечности и работа программы может продолжаться. Коль скоро она выполняет одни и те же вычисления много раз, не превышая 2, точка является частью системы. (Число раз зависит от степени увеличения. Для масштаба, доступного персональному компьютеру, ста или двухсот раз часто бывает достаточно, а тысяча повторений дает полную гарантию.) Программа должна повторить данный процесс для каждой из тысяч точек решетки. Масштаб можно увеличить. Затем программа должна показать полученный результат. Точки, входящие в систему, могут быть обозначены черным цветом, а не принадлежащие к ней — белым. Для получения более живого изображения белый цвет можно заменить оттенками других цветов. В частности, если итерация прекращается после десяти повторений, программа должна выдать красную точку, после двадцати — оранжевую, после сорока — желтую и т. д. Выбор цветов и момент остановки расчета точек программист может выбрать сам. Цвета надлежащим образом обозначают контуры, оставшиеся за пределами системы.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: