Системы второго порядка

В качестве примера системы второго порядка мы воспользуемся конструк­цией стрелочного прибора (в частности, измерителя с подвижной катуш­кой), которая представляет собой вращающуюся механическую систему. Каждая из следующих четырех механических пар сил оказывает воздействие на вращающуюся часть измерителя, создавая вращающий момент (рис. 2.42(a)):

- Отклоняющее воздействие. Это воздействие вызывает отклонение стрел­ки на угол . Момент этого воздействия пропорционален измеряемой вели­чине (току). Мы обозначим этот момент M_d.

Рис. 2.42. Системы второго порядка: (а) механическое вращение; (b) механи­ческое поступательное движение; (с) параллельный электрический контур.

- Возвращающее воздействие. Это воздействие оказывает противодействие отклонению стрелки. В данном примере оно создается спиральной пружи­ной; вращающий момент этого воздействия обозначается М_r. Когда достига­ется установившееся состояние, отклоняющий момент и возвращающий момент равны: M_d = М_r. Обычно бывает так, что возвращающий момент пропорционален углу отклонения , то есть М_r = К_r , где К_r — коэффициент упругости (жесткость пружины).

- Демпфирующее воздействие. Это воздействие также противодействует отклоняющему моменту. Демпфирующий момент пропорционален угловой скорости стрелки, так что M_da = D_r d / dt. Здесь D_r — постоянная затухания вращающейся конструкции. Затухание линейно зависит от угловой скорости d / dt.

Демпфирование применяют для того, чтобы предотвратить проскакива-ние стрелки за конечное значение и колебания стрелки вокруг него. Для этого используют те или иные крыльчатые приспособления и поршни (воз­душное демпфирование), а также индукцию вихревых токов в металличес­кой пластине в случае движущихся систем (демпфирование за счет токов Фуко).

- Инерционность. Инерция вращающейся конструкции измерителя при­водит к возникновению еще одного противодействующего момента, кото­рый пропорционален угловому ускорению стрелки, так что

,

где J — момент инерции вращающейся конструкции относительно оси вращения.

Динамическое поведение измерителя определяется его уравнением дви­жения; в любой момент времени отклоняющий момент уравновешивается суммой всех других моментов:

M + M_da + М_r = M_d

или

.

В результате, как и следовало ожидать, мы пришли к линейному дифференциальному уравнению второго порядка.

Чтобы сделать более ясной аналогию с другими системами, указанными на рис. 2.42, перепишем полученное уравнение, введя новую переменную :

= M_d

Отклоняющий момент M_d является I- величиной (см. приложение А.4), а угловая скорость — V -величиной. Вращающаяся механическая система аналогична системе с поступательным движением, изображенной на рис. 2.42(b). Эта последняя состоит из груза массы т, пружины с коэффициен­том упругости K_t и демпфера с постоянной затухания D_t Если на систему действует сила F_d, то скорость v груза по отношению к земле удовлетворяет равенству

.

Поскольку v =dx / dt, мы снова приходим к тому же самому линейному дифференциальному уравнению второго порядка, что и полученное ранее. Наконец, обе механические системы — с вращательным и с поступатель­ным движениями — аналогичны электрической системе, показанной на рис. 2.42(c). На этот параллельный электрический контур действует I- величина: по нему течет ток I . Мы хотим определить V -величину, являющуюся реше­нием уравнения:

= I .

Это уравнение эквивалентно обоим уравнениям, полученным выше. Все различие может состоять в том, что I -величины и V -величины поменяются местами. Структура системы остается одной и той же, когда мы переходим от J к m или С, одновременно заменяя D_r на D_t или 1 / R, а также К_r - на K_t или 1 / L (см. приложение А.4). Принимая во внимание, что

V=L ,

последнее уравнение можно переписать в виде:

,

где I представляет собой ток, текущий по катушке L.

Мы видим теперь, что дифференциальное уравнение, описывающее ли­нейную систему второго порядка, в общем случае содержит две постоянные а и b:

.

Здесь х — это величина входного воздействия х (t), а у — выходная вели­чина y(t), нормализованная по отношению к чувствительности по постоян­ному току S(0), так что

у = y(f) / S(0). Благодаря нормализации третья посто­янная в дифференциальном уравнении отсутствует. Чтобы сделать запись более наглядной, введем две другие постоянные: относительное затухание z и угловую частоту свободных незатухающих колебаний в системе, и пере­пишем общее уравнение с использованием этих констант:

.

В случае системы с вращением переменные и параметры, входящие в это уравнение, имеют вид:

x= , y= , = и ,

а в случае системы с поступательным движением —

x= , y=x, = и ,

Для электрической цепи имеем:

X=I , y=I, = и ,

Соответствующее уравнение в операторной форме выглядит так:

,

и корни его равны

.

Необходимо различать следующие три характерных случая: z < 1, z = 1 и z>l.

Недостаточное демпфирование (z < 1)

Можно показать, что отклик системы y(t) на входной сигнал, имеющий форму скачка величины х₀ , происходящего в момент t = 0, равен

.

где ; при выводе этого выражения предполагается, что на­чальные значения у(0) и (dy / dt)_t=0 равны нулю. Конечное значение, дости­гаемое в установившемся режиме, равно

.

Непосредственно вслед за входным скачком возникают затухающие ко­лебания с частотой , наложенные на конечное значение (см. рис. 2.43). Мы видим, что с ростом z затухание колебаний происходит все быстрее. Поэто­му z называют относительной скоростью затухания. Если z = 0, то колебания в системе продолжаются и их частота равна ; система находится в режиме свободных колебаний. Таким образом, — это резонансная частота системы, в которой затухание отсутствует полностью.

Рис. 2.43. Переходные характеристики системы второго порядка при различ­ных значениях относительного коэффициента затухания z.

Критическое демпфирование (z = 1)

Предполагая снова, что начальные условия являются нулевыми, то есть у(0) = 0 и (dy/dt) = 0, а величина скачка на входе в момент t = 0 равна х , получаем следующее выражение для переходной характеристики системы второго порядка при z = 1:

.

Как и ранее, конечное значение у₀ равно х₀, но теперь на выходе нет затухающих колебаний (см. рис. 2.43).

Обычно измерители с подвижной катушкой бывают сконструированы таким образом, чтобы демпфирование у них было не точно критическим, а слегка недостаточным (z = l/ ). Из-за этого происходит небольшое проскакивание стрелки (4%). Достоинство такого подхода состоит в том, что наблюдатель яснее видит, когда стрелка устанавливается на конечном зна­чении. У такого значения коэффициента затухания z применительно к изме­рительным системам есть и другое достоинство: при z 0,7 амплитудно-частотная характеристика оказывается горизонтальной в возможно более широком диапазоне частот (этот вопрос рассмотрен ниже; см. рис. 2.45).

Избыточное демпфирование) (z > 1)

При тех же начальных условиях, что и выше, но с коэффициентом зату­хания z больше единицы, переходная характеристика y(t) как реакция на входной скачок величины х₀ в момент t = 0 имеет вид:

,

где . В данном случае выходная величина будет постепенно приближаться («ползти») к конечному значению у₀ = х₀ (см. рис. 2.43).

Постоянная времени прибора или его время установления (готовности) t_s зависит от коэффициента затухания z, периода T ₀, соответствующего час­тоте свободных колебаний (T ₀ = 2 / ), и, естественно, от допустимой относительной ошибки в конечной величине y / y (см. рис. 2.44). У кривых на этом графике имеются разрывы при z < 1, обусловленные тем, что при заданных значениях Т₀ и относительной погрешности (скажем 0,1%) время готовности t_s увеличивается скачками при непрерывном уменьшении коэф­фициента затухания z. Причина скачков заключается в том, что время готов­ности каждый раз увеличивается на один период затухающих колебаний.

Частотную характеристику системы второго порядка легко найти, рас­сматривая RLC -аналог такой системы, показанный на рис. 2.42(c):

= .

Амплитудно-частотная характеристика имеет вид:

Рис.2.44. Время установления (готовности) t_s системы второго порядка при различных значениях допустимой относительной ошибки у₀ / у₀ в конечном результате y_Q.. T_Q — период свободных колебаний,,a z — относительный коэф­фициент затухания системы.

| |= ,

а для фазовой характеристики справедливо соотношение:

Arg = -arctg .

Подставляя z² = L/4R²C и =1 / LC, можно написать эти выражения в общей форме. Дифференцируя | | по , находим, что максимум | | достигается при

_тгх = и значение | | в максимуме равно

| |=

(при z ).

Частотная характеристика оказывается плоской в возможно более широ-ком диапазоне частот, если | | = | |=1, то есть в случае, когда z = /2. При этом ширина полосы системы равна f₀ = / 2 -, где t — частота свободных колебаний. В точке = фазовый сдвиг равен —90°. На очень высоких частотах сдвиг по фазе стремится к —180°, но никогда не превышает этого значения, а величина сигнала на выходе системы при этом почти равна нулю. Если z = /2, то амплитудно-частотная характеристика имеет пик на частоте затухающих колебаний (см. рис.2.45 (а) и (b)).

Рис. 2.45. (а) Амплитудно-частотная и (b) фазо-частотная характеристики си­стемы второго порядка при различных значениях коэффициента затухания z.

Нелинейные системы

До сих пор мы рассматривали отклик систем, предполагая, что они являют­ся линейными. Но что произойдет, если эти системы нелинейны? На рис. 2.32 уже было показано, что по мере того, как входные величины становятся достаточно большими, всякая реальная система, в конце концов, становит­ся нелинейной из-за насыщения, перегрузки или ограничения. Сейчас на простом механическом примере мы проиллюстрируем, что происходит при этом с откликом.

Рассмотрим классический метод определения механической силы с по­мощью пружинного измерителя, в котором сила F_d, приложенная к внут­ренней пружине, преобразуется в пропорциональное изменение / длины пружины. Пусть штифт или кольцо, с помощью которых усилие передается пружине, обладают определенной массой, а о пружине предполагается, что у нее есть некоторое затухание. Тогда при малом входном воздействии, когда сила мала, и малом соответствующем изменении длины, можно воспользо­ваться аналогом, изображенным на рис. 2.42(b). Когда / мало, статическое поведение пружинного измерителя силы определяется законом Гука: F_d = К l, где K_t — жесткость пружины (ее коэффициент упругости). Динамическое поведение этой линейной системы уже рассмотрено: при малых нагрузках пружинный измеритель силы является линейной системой второго порядка «пружина с грузом» с демпфированием.

Однако в случае, когда прикладываемая сила велика, сказанное переста­ет быть справедливым: система становится нелинейной. Нелинейность воз­никает из-за того, что с увеличением растяжения или сжатия внутренняя пружина измерителя постепенно становится более жесткой или мягкой. Жесткость пружины больше не является постоянной. На рис. 2.46(a) показа­ны зависимости, иллюстрирующие статическое поведение такой нелиней­ной пружины.

Чтобы описать поведение пружинного измерителя силы более реалис­тично с учетом нелинейности, сделаем в линейном дифференциальном урав­нении второго порядка, относящемся к механической системе с поступа­тельным движением, подстановку: v = dl / dt. В результате получим:

и l =l(t).

Нелинейность возникает из-за четвертого слагаемого в левой части пер­вого из приведенных равенств. Предполагается, что нелинейность пружины симметрична (одинакова для растяжения и сжатия). Наличие нелинейности обусловлено тем, что степень l отлична от 1. Если > 0, то пружина стано­вится все более жесткой, по мере того, как она растягивается или сжимает­ся. Если = 0, то пружина линейна, а если

< 0, то она становится все менее упругой с ростом l. При очень малых значениях l система ведет себя как линейная система второго порядка, так как в этом случае

l < К l и поэтому членом l , ответственным за нелинейность, можно пренебречь.

Рис.2.46. Нелинейная система «пружина с грузом», (а) Пружина, становящая­ся более жесткой,

> 0; линейная пружина, = 0; пружина, становящаяся более мягкой < 0; F — сила, необходимая для растяжения / сжатия пружи­ны на величину l. (b) Связь между амплитудой l основной гармоники свобод­ных колебаний нелинейной системы и нормированной резонансной частотой / .

Чтобы составить верное представление о динамическом поведении, рас­смотрим сначала свободные колебания системы: F_d(t) = 0 при t 0. Кроме того, предположим, что демпфирование отсутствует: D_t = 0. Однажды под­вергнутая воздействию, система будет продолжать колебаться, порождая периодический сигнал l = l(t) = l(t±nT), п — целое. Теперь период Т = 1/ f = 2 / зависит от амплитуды колебаний! Это показано на рис. 2.46(b). При малых отклонениях частота со оказывается равной угловой частоте линейной системы второго порядка. По мере того, как амплитуда отклонений растет, период укорачивается или удлиняется в зависимости от того, стано­вится пружина более жесткой или менее жесткой ( > 0 или < 0). Следует заметить, что теперь колебание l=l(t) уже не является чисто синусоидаль­ным, а помимо основной гармоники содержит гармоники высших порядков. Форма колебания также меняется с ростом амплитуды отклонений. Колеба­ние является синусоидальным только при очень малых отклонениях.

Из нашего рассмотрения следует, что в случае нелинейных систем нельзя говорить о частотной характеристике, так как поведение системы теперь зависит от амплитуды! Принцип суперпозиции более не действует, и, как мы увидим дальше, динамическое поведение таких систем может быть са­мым удивительным.

Предположим теперь, что затухание уже не равно нулю (D_t 0) и на систему действует синусоидальная внешняя возбуждающая сила F_d = F_d (t) с постоянной амплитудой . На рис. 2.47 показано, что случится с такой системой, если пружина постепенно становится более жесткой ( > 0). На этом графике приведена зависимость амплитуды l=l(t) основной гармо­ники от частоты возбуждения .

Чтобы построить эту зависимость, необходимо отфильтровать частоту основной гармоники, совпадающую с частотой прилагаемого извне сило­вого воздействия, из (искаженного) сигнала l(t). Здесь мы приводим только амплитуду этой основной гармоники (линеаризированное поведение). Как видим, резонансная кривая больше не имеет того привычного вида, который характерен для линейной системы второго

Рис. 2.47. Зависимость амплитуды основной гармоники вынужденных колеба­ний нелинейной системы «пружина с грузом» от частоты синусоидального воздействия постоянной амплитуды при наличии демпфирования (в случае, когда жесткость пружины увеличивается).

порядка и показан на рис. 2.45(a). Она теперь наклонена в сторону более высоких частот; другими сло­вами, она теперь перекошена. Если амплитуда синусоидального воздей­ствия меняется, то пик резонансной кривой будет перемещаться по штри­ховой линии, которая является характеристикой свободных колебаний (как на рис. 2.46(b), > 0).

Если частота возбуждающей силы увеличивается, но амплитуда оста­ется постоянной, то выходная величина в системе «пружина с грузом» вне­запно падает до много меньшего уровня (явление перескока) после того, как на частоте со = Ьсо₀ достигается пик резонансной кривой. Когда частота умень­шается (опять же при неизменной амплитуде входного воздействия), амп­литуда основной гармоники в сигнале /(/) вдруг скачком переходит к боль­шему значению на частоте =a . Следовательно, в интервале частот b b система неустойчива. Установившийся режим никогда не может принадлежать кривой, изображенной точками внутри этого интервала. Мы видим, что резонансные кривые такого рода нелинейных механических си­стем обладают гистерезисом.

Если мы теперь вдобавок станем изменять амплитуду возбуждающей силы F_d(t), то получим резонансные кривые, представленные на рис. 2.48. На рис. 2.48(a) показаны характеристики системы «пружина с грузом» в случае, когда жесткость пружины постепенно увеличивается, а на рис. 2.48(b) — для случая, когда жесткость пружины уменьшается.

Рис. 2.48. Влияние амплитуды входного воздействия на резонансные кривые (см. рис. 2.47) нелинейной системы «пружина с грузом» при наличии демпфи­рования. На рис. (а) представлен случай, когда жесткость пружины увеличива­ется (b > 0), а на рис. (b) показаны амплитудно-частотные характеристики для случая, когда пружина постепенно становится мягче (b < 0).

Наконец, обратим внимание на тот факт, что у систем такого рода при возбуждении их синусоидальным воздействием, помимо высших гармоник на частотах к , могут наблюдаться субгармоники на частотах / п (здесь к и п — целые числа). Обычно это происходит при малом, но не равном нулю затухании D_r.

Приведенный иллюстративный пример поведения нелинейной динами­ческой системы ясно показывает, насколько сложными могут быть эти сис­темы. Это обстоятельство является одной из причин, по которым в измери­тельных системах стараются избежать сколько-нибудь существенной (дина­мической) нелинейности: система становится слишком сложной.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: