ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное

Бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса»

(ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС»)

Кафедра «Математика»

УТВЕРЖДАЮ

заведующий кафедрой «Математика»

__________ И.М. Мальцев

«3» сентября 2012 г.

На правах рукописи

Математическая статистика

учебно-методическое пособие

для студентов всех специальностей

всех форм обучения.

Составители: С.В. Рубцова

ШАХТЫ 2012

Методические указания предназначены для подготовки студентов всех форм обучения всех специальностей к контрольной работе по математической статистике. В методических указаниях представлен краткий теоретический материал и приведены примеры выполнения аудиторных контрольных работ по математической статистике.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..4

1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ…………..6

2 ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ……………..6

3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ………………………………………………...16

4 ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ………………………………………………..17

5 ПРИМЕРЫ АУДИТОРНОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ……………………………………….20

ВВЕДЕНИЕ

Наблюдаемые нами события можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Случайными называются события, которые при осуществлении некоторых условий S могут произойти, а могут и не произойти. Изучением массовых случайных явлений занимаются теория вероятностей и математическая статистика, причем теория вероятностей занимается ими в основном с теоретических позиций, а математическая статистика имеет более практическую направленность. Математическая статистика может оказать существенную помощь в тех случаях, когда приходится принимать решение в условиях неопределенности. Такие задачи возникают при планировании и организации производства, анализе технологических процессов, контроле качества продукции и т.д. Покажем это на примерах.

Пример 1. При перевозке продукции завода по производству телевизоров часть телевизоров повреждается, в результате чего предприятие несет убытки. Для уменьшения потерь можно предпринять ряд шагов: изменить технологию производства некоторых деталей; изменить условия транспортировки; увеличить выпуск запасных деталей и так далее. В каждом случае для выправления положения необходимы некоторые затраты. Для выбора оптимального варианта необходимо знать закономерности, которым подчиняется случайная величина X, где X - число изделий, поврежденных в результате перевозок. По-видимому, величина X зависит от расстояния, типа транспорта, количества пунктов перегрузки, качества упаковки и т.д.

Пример 2. На швейной фабрике планируется выпуск новой модели одежды, рассчитанной на некоторую категорию потребителей, выделенную по возрасту, уровню дохода или иным показателям. Для эффективной реализации продукции необходимо знать распределение выделенной категории по росту и размеру. Таким образом, приходят к типичной задаче математической статистики - определению вида и параметров распределения. Если вид или параметры распределения выбраны неверно, то часть продукции может оказаться нереализованной или реализованной по низким ценам и предприятие потерпит убытки.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Генеральная совокупность и выборочная совокупность являются основными понятиями математической статистики. Выборочную совокупность часто называют просто выборкой.

В математической статистике генеральной совокупностью (ГС) называется множество каких-либо однородных элементов, из которого по определенному правилу выделяется некоторое подмножество, называемое выборкой. Например, при статистическом контроле качества, связанном с уничтожением контролируемых изделий, в роли ГС выступает множество всех изделий, выборка извлекается из ГС случайно (наугад). С точки зрения теории вероятностей выбор наугад означает, что если ГС содержит N элементов, и отбирается выборка из n элементов (n < N), то выбор должен быть осуществлен таким образом, чтобы для любой группы из n элементов вероятность извлечения была одной и той же. Количество элементов в ГС называется объёмом генеральной совокупности, количество элементов выборки - объёмом выборки. Наряду с конечными ГС иногда удобно рассматривать бесконечные генеральные совокупности.

Основной задачей математической статистики является изучение ГС с помощью выборки на основе теории вероятностей. Необходимость использования выборки для изучения ГС возникает, к примеру, в следующих случаях:

1) объём ГС бесконечен или практически бесконечен;

2) исследование всей ГС требует больших материальных затрат;

3) при исследовании происходит разрушение объектов исследования, например, при проверке на прочность;

4) исследование всей ГС требует значительного времени, и поэтому результаты в момент окончания исследования уже не актуальны.

На практике наиболее часто используется выбор без возвращения (бесповторная выборка), когда каждый отобранный объект перед выбором следующих объектов в исследуемую совокупность не возвращается. Выбор с возвращением рассматривается обычно лишь в теоретических исследованиях.

Если n<< N, то повторный и бесповторный способы дают практически эквивалентные результаты.

В математической статистике в качестве элементов ГС и выборки обычно рассматривают не сами объекты исследования, а их математические характеристики - числа или векторы.

Наряду с понятием выборки в математической статистике рассматривается понятие реализации выборки. В некоторых учебниках, например в /3/, эти понятия не различают, в других /2/ и др. - различают, в результате часто возникает некоторая путаница в терминологии.

Выборкой называется совокупность случайных величин (случайный вектор) вида где компоненты X _i - случайные величины, имеющие то же распределение, что и исследуемая ГС.

Реализация выборки - множество чисел X ^* (x₁^*, x₂^*,..., x_n^*), полученных в результате реально проведённого эксперимента.

Пример 3. Завод выпустил 10000 электроламп. Каждая электролампа может быть охарактеризована временем x _i (i = 1, 2,..., 10000) её непрерывной работы до выхода из строя. Тогда генеральной совокупностью естественно считать набор всех значений x _i. В качестве выборки можно взять часть этого набора, например 250 значений. Объём ГС равен 10000, а объём выборки - 250.

Необходимо заметить, что в генеральную совокупность и выборку входят не лампы, а числа, характеризующие эти лампы. Математическая статистика работает не с реальными объектами, а с их математическими моделями, в которые входят числа, функции, векторы и т.д.

Пример 4. Каждый из 5000 студентов института может быть охарактеризован некоторым набором чисел (вектором). Например, можно взять набор из трёх компонент: x ₁ - рост, x ₂ - вес, x ₃ - размер обуви. Генеральной совокупностью будет совокупность всех этих векторов, выборкой - часть этих векторов.

Отметим ещё раз, что значения x _i, входящие в ГС или выборку, до проведения эксперимента нужно считать случайными, так как мы заранее не знаем, какие конкретные значения они примут. После того как провели измерения (эксперимент), получены обычные числа - реализация случайной величины (СВ) X на практике. В примерах 3 и 4 мы рассматривали ГС конечного объёма, т.е. дискретные случайные величины. Часто при исследованиях удобнее брать хорошо изученные типы непрерывных случайных величин, являющихся предельными для реальных дискретных ГС.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: