МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЦОС

Задача 1.1. Пусть – множество действительных чисел. Проверьте, образует ли множество группу относительно операции сложения; относительно операции умножения.

Задача 1.2. Пусть – множество действительных чисел в интервале . Образует ли множество группу относительно операции сложения? относительно операции умножения?

Задача 1.3. Пусть – множество действительных чисел, принадлежащих интервалу . Проверьте, образует ли множество группу относительно операции сложения по модулю 1. Операция сложения по модулю определяется выражением

Задача 1.4. Пусть – множество всех четных целых чисел. Образует ли множество группу относительно операции сложения? относительно операции умножения?

Задача 1.5. Проверьте, выполняются ли аксиомы группы по сложению для: а) множества всех матриц; б) множества всех матриц размера ; в) множества всех квадратных матриц; г) множества всех матриц размера (здесь и далее и – различные целые положительные числа).

Задача 1.6. Дано множество всех матриц размера . Проверьте, является ли это множество группой относительно операции матричного умножения. Если нет, то как нужно сузить это множество, чтобы выполнялись аксиомы группы? Что в этом случае представляет собой нейтральный элемент?

Задача 1.7. Дано множество , состоящее из целых чисел 0 и 1, с операцией сложения по модулю 2. Проверьте, является ли это множество группой. Если да, то определите нейтральный элемент. Как найти элемент, обратный данному?

Задача 1.8. Дано множество целых чисел с операцией сложения по модулю 5. Проверьте, является ли это множество группой. Что представляет собой нейтральный элемент? Как найти элемент, обратный данному?

Задача 1.9. Дано множество целых чисел . Проверьте, составляет ли оно группу относительно «обычной» операции умножения?

Задача 1.10. Дано множество целых чисел с операциями сложения по модулю 2 и обычного умножения. Является ли это множество полем?

Задача 1.11. Дано множество целых чисел . Дайте определение операций (сложения и умножения), для которых это множество образует поле. Составьте таблицы сложения и умножения.

Задача 1.12. Дано множество последовательностей длины , каждая из которых определяется выражением

,

где , ; – поле действительных чисел. Определены операции поэлементного сложения последовательностей и умножения последовательности на действительное число

,

, .

Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множества . Существует ли в нулевой элемент? Запишите его. Найдите элемент, обратный последовательности .

Задача 1.13. Дано множество последовательностей длины , каждая из которых определяется выражением

,

где – всевозможные комплексные числа, вещественные и мнимые части которых не превосходят по абсолютной величине единицы, т.е. , . Дано поле комплексных чисел . Определены операции поэлементного сложения последовательностей и умножения последовательности на комплексное число. Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множества .

Задача 1.14. Дано множество последовательностей бесконечной длины, каждая из которых определяется выражением

,

где , . Определены операции поэлементного сложения последовательностей и умножения последовательности на вещественное число. Проверьте выполнение аксиом линейного пространства для множества .

Задача 1.15. Рассмотрим множество всех вещественных последовательностей конечной длины , определенных при . Какова размерность пространства ? Задайте базис для .

Задача 1.16. Один из возможных базисов для пространства последовательностей состоит из сдвинутых -последовательностей . Докажите, что набор из любого количества таких последовательностей линейно независим.

Задача 1.17. Дано множество последовательностей конечной длины . Проверьте, можно ли считать метриками следующие функции:

а) ,

б) ,

в)

Задача 1.18. Пусть – метрическое пространство, т.е. множество элементов с определенной на нем метрикой . Покажите, что функционалом

также можно задать метрику на , определив таким образом другое метрическое пространство .

Задача 1.19. Пусть – нормированное линейное пространство, норма элемента обозначается . Покажите, что функционалом на задается метрика.

Задача 1.20. Пусть – линейное пространство со скалярным произведением. Покажите, что функционалом на задается норма.

Задача 1.21. Даны две последовательности, принадлежащие пространству

,

.

Найдите: нормы , ; скалярное произведение ; угол между и ; расстояние .

Задача 1.22. Даны последовательности конечной длины

, ;

, .

Найдите: а) скалярное произведение ; б) скалярное произведение укороченных последовательностей при .

Задача 1.23. Пусть и – векторы единичной нормы в действительном пространстве со скалярным произведением. Покажите, что векторы и взаимно ортогональны.

Задача 1.24. Найдите нормы последовательностей

а) , , б) , ,

в) ,

г) ,

д) ,

е) .

Задача 1.25. Проверьте, является ли линейным пространством множество всех векторов единичной нормы на плоскости с обычным сложением векторов и умножением вектора на действительный скаляр.

Задача 1.26. Покажите, что при различной нумерации исходной системы векторов процедура Грама – Шмидта приводит к различным базисам.

Задача 1.27. Даны последовательности

;

;

,

принадлежащие пространству , натянутому на множество последовательностей . Проверьте линейную независимость последовательностей. Постройте ортонормальный базис в .

Задача 1.28. Докажите, что роль единицы для алгебры со сверткой в качестве обобщенного умножения играет -последовательность .

Задача 1.29. Докажите справедливость выражения .

Задача 1.30. Докажите, что последовательность, принадлежащая , принадлежит также и .

Задача 1.31. Докажите, что -норма в трехмерном пространстве совпадает с обычным геометрическим определением длины (модуля) вектора.

2. -ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Задача 2.1. Докажите линейность -преобразования.

Задача 2.2. Докажите, что область сходимости суммы последовательностей содержит пересечение областей сходимости слагаемых.

Задача 2.3. Докажите, что -преобразование последовательности , расходится при любом , не лежащем на 1-окружности.

Задача 2.4. Сужение -образа последовательности из предыдущей задачи на единичную окружность имеет вид, показанный на рис. 1.

Определите параметры функции (максимальное значение функции и значение аргумента, при котором функция становится равной нулю). Воспользуйтесь формулой обратного преобразования Фурье.

Задача 2.5. Докажите ортонормальность базиса при условии .

Задача 2.6. Для прямого ДПФ, имеющего форму , , найдите выражение обратного ДПФ.

Задача 2.7. Найдите -преобразования последовательностей:

a) , б) , в) ,

г) , д) .

е) , ж) ,

з) ,

и) , , к) .

Задача 2.8. Найдите -преобразования последовательностей:

a) , б) , в) ,

г) , д) , e) ,

ж) .

Задача 2.9. Найдите -преобразования последовательностей:

а)

б)

в)

Задача 2.10. Найдите -преобразования последовательностей

а) ,

б) ,

в) .

Задача 2.11. Найдите последовательность, -образ которой

при

при помощи формулы обратного -преобразования.

Задача 2.12. Найдите последовательность, -образ которой

при

путем деления.

Задача 2.13. Найдите последовательность, соответствующую -образу

при

путем деления.

Задача 2.14. По нуль-полюсным диаграммам (рис. 2 а,б) восстановите (с точностью до констант) -образы каузальных последовательностей.

а	б
Рис. 2.

Задача 2.15. По нуль-полюсной диаграмме рис. 3 восстановите последовательности для всех возможных областей сходимости

Рис. 3.

Задача 2.16. Определите каузальную последовательность по ее -образу.

.

Задача 2.17. Определите каузальную последовательность по ее -образу.

.

Задача 2.18. Определите каузальную последовательность по ее -образу, пользуясь теоремой о свертке.

.

Задача 2.19. Найдите делением обратное -преобразование функции

в виде каузальной последовательности.

Задача 2.20. Даны последовательности

,

.

Найдите свертку .

Задача 2.21. Даны последовательности

;

.

Найдите свертку .

Задача 2.22. Даны последовательности

;

.

Найдите свертку .

Задача 2.23. Даны последовательности

;

.

Найдите свертку .

Задача 2.24. Найдите свёртку и с использованием -преобразования, если

, .

Задача 2.25. Найдите , если

.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: