ТОР 5 статей: Методические подходы к анализу финансового состояния предприятия Проблема периодизации русской литературы ХХ века. Краткая характеристика второй половины ХХ века Характеристика шлифовальных кругов и ее маркировка Служебные части речи. Предлог. Союз. Частицы КАТЕГОРИИ:
|
Алгебраические и частотные критерии устойчивости.Критерий Гурвица Этот критерий сформулирован математиком А. Гурвицем в 1895 г., он является алгебраическим и связывает расположение корней характеристического уравнения с определенными условиями, которые накладываются на его коэффициенты. по следующему правилу составляется матрица Гурвица: на главной диагонали сверху вниз выписываются по порядку коэффициенты характеристического уравнения от до включительно. В каждом столбце вниз от диагонали записывают коэффициенты при возрастающих степенях оператора p, вверх – при убывающих степенях p. Недостающие элементы в столбце дополняются нулями. Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров, полученных из матрицы Гурвица H, были положительны: Здесь Δi– определители Гурвица, которые составляются следующим образом: Поскольку определитель n-1 –го порядка должен быть положительным, последнее условие соответствует требованию a1>0. Следствием критерия является условие границы устойчивости, когда последний определитель Гурвица обращается в нуль: Критерий Михайлова Критерий сформулирован математиком А.В. Михайловым в 1938 г. Он базируется на принципе аргумента теории функций комплексной переменной. Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс F(jω), который получается из характеристического полинома: заменой p на jω Выделим в (4.14) вещественную и мнимую части, а также модуль и фазу: При конкретном численном значении частоты (ω=ω 1) характеристический комплекс (4.19) представляет собой комплексное числоF(j ) которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой RF(), jIF(). При изменении ω от 0 до ∞ конец вектора F(jω)выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова (см. рис.). Причем начинается годограф, как следует из соотношения (4.18), в точке с координатами a1, j0.
Формулировка критерия. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении от ω от 0 до ∞ начинался на вещественной оси в точке и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к в n-м квадранте в ∞. Пример годографов Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем третьего порядка приведен на рис. Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты ω = ω0. Аналитически это условие можно записать в виде: Здесь ω0 – частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, которая находится на границе устойчивости. Критерий Найквиста На практике более широкое применение по сравнению с критерием Михайлова получил критерий Н. Найквиста, который был разработан в 1932 г. для проверки устойчивости усилителей с отрицательной обратной связью, а затем обобщен на системы автоматического управления. Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью (так называемой замкнутой системы) по экспериментально снятой или полученной на основе передаточной функции амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы. Рассмотрим этот критерий для системы с единичной обратной связью (рис). Здесь W0(p)– передаточная функция устойчивой разомкнутой системы, которая в общем случае имеет вид: где ее характеристический полином . Определим передаточную функцию системы, изображенной на рис. где характеристический полином замкнутой системы. Формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика устойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координатами -1; j0. Примеры расположения частотных характеристик, соответствующих устойчивой и неустойчивой замкнутым системам, приведены на рис. Разомкнутая система может быть неустойчива, однако это не означает, что неустойчивой будет и замкнутая система. В этой ситуации следует использовать видоизмененную формулировку критерия Найквиста: замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика неустойчивой разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывает точку с координатами -1; j0 в положительном направлении r/2 раз, где r– число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью. Сформулируем теперь условие границы устойчивости. Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если при некоторой частоте ω = ω0 амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами -1; j0. Аналитически это условие можно записать в виде: Пример расположения для этой ситуации амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы на комплексной плоскости представлен на рис. Предварительно необходимо получить передаточную функцию разомкнутой системы, для чего можно размыкать связь произвольным образом (рис.), а вход и выход системы следует рассматривать в месте разрыва. В результате искомая передаточная функция будет иметь вид:
Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:
|