НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.

1. Определение и свойства неопределенного интеграла.
Литература , гл. Х, §1-3, упр. 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 17, 25, 41, 46, 49, 58. 60, 66.

2. Основные методы интегрирования.
Литература , гл. Х, §4, упр.27, 28, 33, 37, 47, 51, 65, 72, 83, 89, 91, 94, 100, 101; §6, упр. 127-131, 134, 135, 138, 140, 143, 145.

3. Стандартные методы интегрирования некоторых классов функций.
Литература , гл. Х, §5, упр. 102, 105, 107, 110, 112, 113, 115, 116, 123, 125; §7-9, упр. 156, 163, 164, 167, 169; §10, упр. 170, 176, 177; §12, упр. 196, 198, 203, 204, 209, 212, 214, 216; §13, упр. 178, 180; §14.

4. Определение, свойства и вычисления определенного интеграла.
Литература , гл. ХI, §1-5, §6 упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24.

5. Несобственные интегралы.
Литература , гл. Х, §7, упр. 29-31, 34, 35, 37-40.

6. Геометрические приложения определенного интеграла.
Литература , гл. ХII, §1, упр. 1, 3, 5-11; §2, упр. 13, 14, 17, 18; §3, упр. 38-41, 43, 47; §4, 5, упр. 20-23, 25, 32; §6, упр. 49, 51, 53, 56.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определения:
- первообразной функции;
- неопределенного интеграла.

2. Напишите таблицу основных интегралов.

3. Докажите свойства неопределенного интеграла.

4. Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

5. Выведите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Какие типы интегралов целесообразно брать этим методом?

6. Интегрирование простейших дробей I, II, III, IV типов.

7. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие. Продемонстрируйте его на примерах.

8. Как интегрируются рациональные дроби?

9. Изложите методы нахождения интегралов вида:
а) ;
в) ,
где p, q,…, r – рациональные числа, R – рациональная функция.
Приведите примеры.

10. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных и трансцендентных функций?

11. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.

12. Докажите основные свойства определенного интеграла:
а) ;
б) ;
в) .

13. Сформулируйте свойства определенного интеграла, выражающиеся с помощью неравенств.

14. Докажите теорему о среднем значении для определенного интеграла. В чем ее геометрический смысл?

15. Докажите, что является первообразной для f(x) (теорема Барроу).

16. Выведите формулу Ньютона-Лейбница.

17. Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле. Приведите пример.

18. Докажите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.

19. Дайте определения:
- несобственного интеграла первого рода;
- несобственного интеграла второго рода.

20. Когда говорят, что несобственный интеграл первого (второго) рода сходится или расходится? Приведите примеры сходящихся и расходящихся интегралов первого (второго) родов.

21. Сформулируйте необходимый и достаточный признак сходимости несобственных интегралов первого (второго) рода.

22. Сформулируйте общий и частный признаки сравнения несобственных интегралов первого (второго) рода. Как используются они для установления сходимости или расходимости несобственных интегралов?

23. Напишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в декартовой системе координат.

24. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.

25. Напишите формулу для вычисления площади фигуры, когда линии, ее ограничивающие, представлены параметрическими уравнениями.

26. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной:
- параметрическими уравнениями;
- уравнениями в декартовой системе координат;
- уравнениями в полярной системе координат.

27. выведите формулу для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений.

28. Как вычисляются с помощью определенного интеграла объем тела вращения:
- ось вращения – ось ОХ;
- ось вращения – ось ОУ.

Во многих случаях задачу интегрирования можно свести, используя специальные методы, к нахождению интегралов, составляющих таблицу интегралов:

(I)

(II)

(III)

(IV)

(V)

(VI)

(VII)

(VIII)

(IX)

(X)

(XI)

(XII)

(XIII)

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Так как

,

то интеграл преобразуется к виду

.

Применим к нему формулу (II)

.

б) Применим формулу интегрирования по частям:

.

Так как , то обозначив u=x, , найдем . Следовательно,

.

Второе слагаемое найдем по таблице (формула (XII)). Получим

.

в) Подынтегральная функция является рациональной алгебраической дробью. Так как дробь неправильная (степень числителя больше степени знаменателя), то ее можно записать в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Найдя их, применив алгоритм деления «столбиком»:

_
	х

Значит,

.

Разложение дробной части на простейшие дроби имеет вид:

.

Следовательно,

.

Решив систему уравнений:

,

получим А=2, В=3, С=2. Осталось найти:

.

По формуле III и VI находим

.

Окончательно получим:

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском: